Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

G ⊆ S
n
f = f(x
1
, ..., x
n
)
n K a n a ∈ S
n
f
a
= f(x
1a
, x
2a
, ..., x
na
) ia a i a : i 7→ ia
f a f
a
= f
G S
n
G ⊆ S
n
f
G f
a
= f a ∈ G
G f
G ⊆ S
n
f
a
= f ⇔ a ∈ G
f G
a b S
n
f
G
ab
−1
∈ G
f G f
a
= f
b
⇒
f
ab
−1
= f ⇒ ab
−1
∈ G f G
f
a
= f
b
ab
−1
/∈ G f
ab
−1
=
f ab
−1
G f f
f
a
= f
b
f
ab
−1
= f
f G
a b G ab
−1
∈ G f
a
= f
b
ab
−1
/∈ G f
a
1
, ..., a
s
g
a
i
K G S
n
G = {b
1
, ..., b
m
} h = h(x
1
, ..., x
n
) = c
1
x
1
+ ··· +
c
n
x
n
c
i
∈ K c
i
6= c
j
i 6= j K
h
a
= h
b
⇔ a = b (a, b ∈ S
n
) h
a
= h
b
⇒ c
ia
= c
ib
ϕ(t, x
1
, ..., x
n
) = (t − h
b
1
) ···(t − h
b
m
)
ϕ
a
i
(t), i = 1, ..., s a
1
, ..., a
s
h
a
, a ∈ S
n
t
0
∈ K ϕ
a
i
(t
0
) 6= ϕ
a
j
(t
0
) i 6= j
ϕ(t
0
, x
1
, ..., x
n
)
G
m
G
α
1
, ..., α
n
f(x)
K K
    8. Ìíîãî÷ëåíû, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G ⊆ Sn

     Äåéñòâèå ïîäñòàíîâêè íà ìíîãî÷ëåíå. Ïóñòü f = f (x1 , ..., xn )  ìíîãî÷ëåí
îò n ïåðåìåííûõ íàä ïîëåì K è a  ïîäñòàíîâêà ñòåïåíè n (a ∈ Sn ). Ïîëî-
æèì f a = f (x1a , x2a , ..., xna ), ãäå ia  ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ a íà i (a : i 7→ ia).
Ìíîãî÷ëåí f íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî a, åñëè f a = f .
     Ïóñòü G  ïîäãðóïïà â Sn (G ⊆ Sn ). Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí f èíâàðè-
àíòåí îòíîñèòåëüíî G, åñëè f = f äëÿ êàæäîãî a ∈ G (ò.å. èíâàðèàíòåí
                                        a

îòíîñèòåëüíî âñåõ ýëåìåíòîâ èç G). Ìíîãî÷ëåí f íàçûâàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì
äëÿ G ⊆ Sn , åñëè f a = f ⇔ a ∈ G.
     Ëåììà 1. Ìíîãî÷ëåí f ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ G òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îäèíàêîâîå äåéñòâèå äâóõ ðàçíûõ ýëåìåíòîâ a è b èç Sn íà f
îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü èõ ê îäíîìó ïðàâîìó êëàññó ñìåæíîñòè ïî G (ò.å.
ab−1 ∈ G).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f îïðåäåëÿþùèé äëÿ G. Èìååì f a = f b ⇒
        = f ⇒ ab−1 ∈ G, ò.ê. f îïðåäåëÿþùèé äëÿ G.
   −1
  ab
f
     Îáðàòíî, ïóñòü f a = f b , íî ab−1 ∈/ G. Îäíàêî, î÷åâèäíî, ÷òî f ab =       −1


f , ò.å. ýëåìåíò ab−1 , íåëåæàùèé â G, ñîõðàíÿåò f . Ñëåäîâàòåëüíî, f íå
îïðåäåëÿþùèé.
     Äðóãàÿ ðåäàêöèÿ: äâà ðàâåíñòâà f a = f b è f ab = f , î÷åâèäíî, ýêâè-
                                                            −1


âèëåíòíû. Ïîýòîìó, åñëè f îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî îäèíàêîâîå äåéñòâèå
a è b íà G âëå÷åò ab−1 ∈ G. Îáðàòíî, åñëè f a = f b , íî ab−1 ∈        / G, òî f íå
ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì. 
     Ñëåäñòâèå 1. Åñëè a1 , ..., as  ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé (ïðàâûõ
êëàññîâ ñìåæíîñòè), òî âñå ga ðàçëè÷íû.
                                  i

     Ïðåäëîæåíèå 1. (Î ñóùåñòâîâàíèè îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà). Íàä
áåñêîíå÷íûì ïîëåì K äëÿ êàæäîé ïîäãðóïïû G â Sn ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿ-
þùèé ìíîãî÷ëåí.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G = {b1 , ..., bm } è h = h(x1 , ..., xn ) = c1 x1 + · · · +
cn xn , ãäå ci ∈ K è ci 6= cj ïðè i 6= j (ýòî âîçìîæíî, ò.ê. K áåñêîíå÷íî).  òà-
êîì ñëó÷àå áóäåì èìåòü: ha = hb ⇔ a = b (a, b ∈ Sn ) (ha = hb ⇒ cia = cib ).
Ïîýòîìó, åñëè ïîëîæèòü ϕ(t, x1 , ..., xn ) = (t − hb ) · · · (t − hb ), òî âñå ìíî-
                                                        1            m

ãî÷ëåíû ϕa (t), i = 1, ..., s, ãäå a1 , ..., as  ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé,
             i

ðàçëè÷íû (ò.ê. èõ êîðíè ha , a ∈ Sn ðàçëè÷íû) è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî
ïîäîáðàòü t0 ∈ K òàê, ÷òîáû ϕa (t0 ) 6= ϕa (t0 ) äëÿ ëþáûõ i 6= j . Òîãäà
                                       i           j

ϕ(t0 , x1 , ..., xn )  èñêîìûé ìíîãî÷ëåí. 
     Çàìå÷àíèå 1. Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 1 íå òîëüêî óñòàíàâëèâàåò
ñóùåñòâîâàíèå îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà äëÿ G, íî è äàåò íåêîòîðûé ñïî-
ñîá åãî ïîñòðîåíèÿ. Îäíàêî, êàê áóäåò âèäíî â äàëüíåéøåì èç ïðèìåðîâ,
ýòîò ñïîñîá äàëåêî íå âñåãäà ïðèâîäèò ê ïðîñòåéøåìó èç îïðåäåëþþùèõ
ìíîãî÷ëåíîâ. Ïîëó÷àåìûé ýòèì ñïîñîáîì ìíîãî÷ëåí èìååò ñòåïåíü m (ïî-
ðÿäîê ãðóïïû G), íî ÷àñòî ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí ìåíüøåé
ñòåïåíè.
     Ñîïðÿæåííûå ïîäãðóïïû è êëàññ ñîïðÿæåííîñòè.
     Íàïîìíèì, ÷òî ïîäñòàíîâêà êîðíåé α1 , ..., αn ìíîãî÷ëåíà f (x) íàä ïîëåì
K ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ãðóïïû Ãàëóà ýòîãî ìíîãî÷ëåíà (íàä K ), åñëè îíà


                                           14

Страницы