Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n > 4
n
f(x) = x
n
− u
1
x
n−1
+ ··· + (−1)
n−1
u
n−1
x + (−1)
n
u
n
= 0 (1)
K(u
1
, ..., u
n
) u
1
, ..., u
n
v
1
, ..., v
n
g(x) = x
n
−σ
1
x
n−1
+···+(−1)
n−1
σ
n−1
x+(−1)
n
σ
n
= (x−x
1
)(x−x
2
) ···(x−x
n
) = 0,
(2)
x
1
, x
2
, ..., x
n
σ
i
= σ
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
)
i
g(x) K
1
= K(x
1
, ..., x
n
)
K
0
= K(σ
1
, ..., σ
n
) S
n
n
K
0
K
0
⊂ K
1
σ
i
= σ
i
(x
1
, ..., x
n
)
g(x)
K
0
F
0
= K(u
1
, ..., u
n
)
∼
=
K(σ
1
, ..., σ
n
), (3)
K(x
1
, ..., x
n
)
∼
=
K(v
1
, ..., v
n
) = F
1
, (4)
u
i
7→ σ
i
; x
i
7→ v
i
u
1
, ..., u
n
u
i
7→ σ
i
, i = 1, ..., n K[u
1
, ..., u
n
] →
K[σ
1
, ..., σ
n
] σ
i
x
i
v
i
n F
0
S
n
n
    6. Íåðàçðåøèìîñòü â ðàäèêàëàõ îáùåãî óðàâíåíèÿ ïðè n > 4

    Îáùèì óðàâíåíèåì          ñòåïåíè n íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå
               f (x) = xn − u1 xn−1 + · · · + (−1)n−1 un−1 x + (−1)n un = 0      (1)

íàä ïîëåì K(u1 , ..., un ), ãäå u1 , ..., un  íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, ïóñòü
         åãî êîðíè. ðàññìîòðèì òàêæå óðàâíåíèå
v1 , ..., vn

g(x) = xn −σ1 xn−1 +· · ·+(−1)n−1 σn−1 x+(−1)n σn = (x−x1 )(x−x2 ) · · · (x−xn ) = 0,
                                                                               (2)
ãäå              íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, à
    x1 , x2 , ..., xn                                                ýëå-
                                                 σi = σi (x1 , x2 , ..., xn )
ìåíòàðíûé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè .      i
   Ëåììà 1.  Ãðóïïà Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà (ò.å. ðàñøèðåíèÿ
                                         g(x)                       K1 = K(x1 , ..., xn )
íàä                   ) åñòü  ãðóïïà âñåõ ïîñòàíîâîê ñòåïåíè è ýòîò
    K0 = K(σ1 , ..., σn )     Sn                                           n
ìíîãî÷ëåí íåïðèâîäèì íàä .   K0
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî           (ò.å. äåéñòâèòåëü-
                                                  K0 ⊂ K1
íî ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì) ïî îïðåäåëåíèþ                    . Ïåðâîå óòâåð-
                                            σi = σi (x1 , ..., xn )
æäåíèå ñëåäóåò èç ïåðâîé îñíîâíîé òåîðåìû î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëå-
íàõ. Âòîðîå ñëåäóåò èç ïåðâîãî. Äåéñòâèòåëüíî, âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà g(x)
ðàçëè÷íû ïî îïðåäåëåíèþ è ïîòîìó îí íå ìîæåò áûòü ñòåïåíüþ êàêîãî-òî
ìíîãî÷ëåíà. Íî îí íå ìîæåò áûòü è ïðîèçâåäåíèåì íåñêîëüêèõ ðàçëè÷íûõ
ìíîãî÷ëåíîâ, ò.ê. âñå åãî êîðíè ñîïðÿæåíû íàä K0 ïî ïåðâîìó óòâåðæäå-
íèþ. 
    Ëåììà 2. Èìååì èçîìîðôèçì ïîëåé

                           F0 = K(u1 , ..., un ) ∼
                                                 = K(σ1 , ..., σn ),             (3)

êîòîðûé ïðîäîëæàåòñÿ äî èçîìîðôèçìà
                           K(x1 , ..., xn ) ∼
                                            = K(v1 , ..., vn ) = F1 ,            (4)

ïðè ñîîòâåòñòâèè ui 7→ σi ; xi 7→ vi .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê u1 , ..., un  íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, òî ñîîò-
âåòñòâèÿ ui 7→ σi , i = 1, ..., n îïðåäåëÿþò ãîìîìîðôèçì êîëåö K[u1 , ..., un ] →
K[σ1 , ..., σn ], à ò.ê. σi  íåçàâèñèìûå ôóíêöèè (ïî âòîðîé îñíîâíîé òåîðåìå
î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ), òî ýòîò ãîìîìîðôèçì ÿâëÿåòñÿ èçîìîð-
ôèçìîì è ïîòîìó ïðîäîëæàåòñÿ äî èçîìîðôèçìà ïîëåé îòíîøåíèé (3). Ïî
ïðåäëîæåíèþ î ïðîäîëæåíèè èçîìîðôèçìîâ ïîëó÷àåì èçîìîðôèçì (4), ò.ê.
xi è vi  êîðíè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ. 
   Ñëåäñòâèå 1. Ãðóïïà Ãàëóà îáùåãî óðàâíåíèÿ ñòåïåíè n (íàä F0 ) åñòü
Sn  ãðóïïà âñåõ ïîñòàíîâîê ñòåïåíè n.




                                              12

Страницы