Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

q x
q
− 1 = 0
q
q = 2
q
G f(x) = x
q
−1 K q −1 K(η)
η
q −1 = p
k
1
1
p
k
2
2
···p
k
s
s
K p
i
, i = 1, ..., s
K
1
f(x)
K
1
G
1
f(x) K
1
G
K(η) K
1
K
q −1
G
1
⊃ G
2
⊃ ··· ⊃ G
t
⊃ 1 G
i
/G
i+1
{p
2
, p
2
, ..., p
s
}
K
1
⊂ K
2
⊂ ··· ⊂ K
t
⊂ K(η)
p
i
x
p
i
−a
i
p
i
K
1
K
K(η) f(x)
K
f(x) = 0 f(x) K
K
α
G(F : K)
G(R : K) = G
0
⊃ G
1
⊃ ··· ⊃ G
m
= 1, (3)
G
i
/G
i+1
G
0
p
i
G(F : K)
G(R : K) F K G(F :
K)
G = G(F : K)
H
0
= G ⊃ H
1
⊃ H
2
⊃ ··· ⊃ H
t
= 1,
H
i
/H
i+1
p
i
K p
i
p
i
K
0
K
1
F
0
K
0
F K
0
K
F
0
K
   Ëåììà 2.       Åñëè q  ïðîñòîå ÷èñëî, òî óðàâíåíèå xq − 1 = 0 ðàçðåøè-
ìî â íåïðèâîäèìûõ ðàäèêàëàõ (ò.å. êîðíè q-îé ñòåïåíè èç 1 ïðåäñòàâèìû
íåïðèâîäèìûìè ðàäèêàëàìè).
    Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè q = 2, òî óòâåðæäåíèå òðèâèàëüíî. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî îíî âåðíî äëÿ âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë ìåíüøå q. Ïî ëåììå 2 ãðóïïà Ãàëóà
G ìíîãî÷ëåíà f (x) = xq −1 íàä K öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà q −1. Ïóñòü K(η) 
ïîëå ðàçëîæåíèÿ        ýòîãî ìíîãî÷ëåíà, ãäå η  åãî ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü. Åñëè
q − 1 = pk1 pk2 · · · pks , òî ïðèñîåäèíèì ê K êîðíè âñåõ ñòåïåíåé pi , i = 1, ..., s
          1   2      s

èç 1. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííîå ïîëå ÷åðåç K1 è áóäåì ðàññìàòðèâàòü f (x) íàä
K1 . Ãðóïïà Ãàëóà G1 äëÿ f (x) íàä K1 ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé G (ò.ê. àâòî-
ìîðôèçìû K(η), ñòàáèëüíûå íà K1 ñòàáèëüíû íà K ). Ïîýòîìó îíà òîæå
öèêëè÷íà è åå ïîðÿäîê åñòü äåëèòåëü q − 1. Ñëåäîâàòåëüíî, îíà èìååò êîì-
ïîçèöèîííûé ðÿä G1 ⊃ G2 ⊃ · · · ⊃ Gt ⊃ 1, âñå ôàêòîðû Gi /Gi+1 êîòîðîãî
èìåþò ïîðÿäêè, ëåæàùèå ñðåäè ÷èñåë {p2 , p2 , ..., ps }.  ñîîòâåòñòâóþùåé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàñøèðåíèé K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kt ⊂ K(η) êàæäûé øàã
öèêëè÷åñêèé ïîðÿäêà íåêîòîðîãî pi è ïîòîìó ïîëó÷àåòñÿ (â ñèëó ëåììû 6
Ÿ 3) ïðèñîåäèíåíèåì êîðíÿ íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà âèäà xp − ai (íåïðè-
                                                                      i

âîäèìîãî, ò.ê. èíà÷å ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ íå áóäåò ðàâíà pi , ñì. ëåììó 7
Ÿ 3), ò.å. íåïðèâîäèìîãî ðàäèêàëà. Òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè âñå
ýëåìåíòû K1 âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèêàëû (íàä K ), òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
è âñå ýëåìåíòû K(η), â ÷àñòíîñòè, êîðíè f (x), âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèêàëû
íàä K . 
    Òåîðåìà 4. (Î ðàçðåøèìîñòè â ðàäèêàëàõ.) Äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíå-
íèå f (x) = 0, ãäå f (x)  íåïðèâîäèìûé íàä K ìíîãî÷ëåí, íåîáõîäèìî è
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åãî ãðóïïà Ãàëóà áûëà ðàçðåøèìà. (K  ÷èñëîâîå ïîëå.)
    Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Íåîáõîäèìîñòü (åñëè õîòÿ áû äëÿ îäíîãî êîðíÿ α
ñóùåñòâóåò âûðàæåíèå (2), òî ãðóïïà G(F : K) ðàçðåøèìà). Ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè ïîëåé (1) ñîîòâåòñòâóåò íîðìàëüíûé ðÿä (ò.ê. âñå ðàñøèðåíèÿ
íîðìàëüíû, êàê öèêëè÷åñêèå ïðîñòûå) ïîäãðóïï
                         G(R : K) = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gm = 1,                    (3)
ôàêòîðû Gi /Gi+1 êîòîðîé ïðîñòûå êîììóòàòèâíûå ãðóïïû, ò.å. (3) ÿâëÿåòñÿ
êîìïîçèöèîííûì ðÿäîì è G0 ðàçðåøèìà. (Ñíà÷àëà íóæíî ïðèñîåäèíèòü
âñå êîðíè pi -ûõ ñòåïåíåé èç 1). Ãðóïïà G(F : K) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé
ïîäãðóïïîé â G(R : K) (ò.ê. F íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå K ). Ïîýòîìó G(F :
K) òîæå ðàçðåøèìà.
   2) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü G = G(F : K)  ðàçðåøèìà, ò.å. èìååò êîìïî-
çèöèîííûé ðÿä
                          H0 = G ⊃ H1 ⊃ H2 ⊃ · · · ⊃ Ht = 1,
âñå ôàêòîðû Hi /Hi+1 êîòîðîãî ïðîñòûå öèêëè÷åñêèå (ïîðÿäêîâ pi ). Ïðèñî-
åäèíèì ñíà÷àëà ê K âñå êîðíè pi -ûõ ñòåïåíåé èç 1, ãäå pi  âñå ïîðÿäêè
ôàêòîðîâ (ïðîñòûå ÷èñëà). Ïîëó÷èì ïîëå K0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç K1 ìèíè-
ìàëüíîå ïîëå F0 , ñîäåðæàùåå K0 è F . Ãðóïïà Ãàëóà K0 íàä K ðàçðåøèìà
(â ñèëó ëåììû 2 è äîêàçàííîé ÷àñòè òåîðåìû). Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçðåøèìà
è ãðóïïà Ãàëóà F0 íàä K .

                                         11

Страницы