Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

i = 1, ..., m K
0
= K
F = K(α
1
, ..., α
n
) ⊆ K(γ
1
, ..., γ
m
) = R.
f(x) = 0
α
α = Q
m
(Q
m−1
(...(Q
1
(a
1
, ..., a
n
)...)), (2)
Q
i
(u
1
, ..., u
s
) = {v
1
, ..., v
t
} v
j
=
v
j
(u
1
, ..., u
s
) +, −, ·, :
u
1
, ..., u
s
p
i
√
c
i
Q
m
u
j
K
i−1
v
k
K
i
p
i
√
c
i
h
i
(x) = x
p
i
− c
i
= 0
p
i
√
c
i
= γ
i
h
i
(x)
α f(x)
p
i
h
i
K
i−1
pq
√
a =
p
p
q
√
a
q Φ
q
(x) = x
q−1
+ x
q−2
+
···+ x + 1 Q q −1
Φ
q
(x)
x = y − 1
K p n p
n n
p p − 1
a 6≡ 0 (mod p) a
p−1
− 1 ≡ 0 (mod p)
p − 1
P
p
p p p −1
η q
K = Q Φ
q
(x) Φ
q
(x) =
x
q
−1
x−1
a
(q − 1) P
q
{η, η
2
, ..., η
q−1
} = {η, η
a
, η
a
2
, ..., η
a
q−1
}
Φ
q
(x) σ K(η) K
K σ : η 7→ η
a
σ(η) = η
a
σ
k
(η) = η
a
k
1, σ, σ
2
, ..., σ
q−2
G(K(η) : K) K = Q σ
q−1
= 1
K(η) K
q − 1 η, η
2
, ..., η
q−1
K
{η, η
2
, ..., η
q−1
} = {η, η
a
, η
a
2
, ..., η
a
q−1
}
Φ
q
(x) c
1
η + c
2
η
2
+ ··· + c
q−1
η
q−1
= 0 (c
i
∈ K)
η c
1
+ c
2
x
2
+ ··· + c
q−1
x
q−2
q − 2 
ïðîñòîå ÷èñëî, i = 1, ..., m (K0 = K ), è
                     F = K(α1 , ..., αn ) ⊆ K(γ1 , ..., γm ) = R.

   Ïîÿñíåíèå: Ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ f (x) = 0 â ðàäèêàëàõ îçíà÷àåò,
÷òî êàæäûé êîðåíü α ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâèì â âèäå
                       α = Qm (Qm−1 (...(Q1 (a1 , ..., an )...)),                        (2)

ãäå Qi (u1 , ..., us ) = {v1 , ..., vt } åñòü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âûðàæåíèé vj =
vj (u1 , ..., us )√, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ðàöèîíàëüíûõ îïåðàöèé (+, −, ·, :) èç
u1 , ..., us è ci . (Qm ñîäåðæèò îäèí ýëåìåíò). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ýòî òàê
            pi
                                                                                     è
êàæäûé ýëåìåíò uj ëåæèò â Ki−1 , òî êàæäûé vk ëåæèò à Ki . Çäåñü√ïîä √ci                pi


ïîíèìàåòñÿ îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ hi (x) = xp − ci = 0 (ò.å. ci = γi ).
                                                          i                pi


Ïðè ýòîì çàìåíà êàêîãî-ëèáî êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà hi (x) íà äðóãîé ïðèâîäèò
ê çàìåíå α íà äðóãîé êîðåíü f (x). Ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðåäëîæåíèåì î ïðî-
äîëæåíèè èçîìîðôèçìîâ, ò.ê. pi  ïðîñòûå è ïîòîìó ìíîãî÷ëåíû hi íåïðè-
âîäèìûå íàä Ki−1 (à çíà÷èò èçîìîðôèçìû ÿâëÿþòñÿ àâòîìîðôèçìàìè).
      Çàìå÷àíèå 3. Åñëè â âûðàæåíèå (2) âõîäÿò ðàäèêàëû, òî â ëþáîì            p ñëó-
÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíè ïðîñòûå (ïðîñòîé ñòåïåíè), ò.ê. √a = √a.   pq        p   q


      Ëåììà 1. Åñëè q  ïðîñòîå ÷èñëî, òî ìíîãî÷ëåí Φq (x) = xq−1 + xq−2 +
· · · + x + 1 íåïðèâîäèì íàä Q è åãî ãðóïïà Ãàëóà öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà q − 1.
      Äîêàçàòåëüñòâî. Íåïðèâîäèìîñòü Φq (x) äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ êðè-
òåðèÿ Ýéçíåøòåéíà (ïîñëå çàìåíû x = y − 1). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî
óòâåðæäåíèÿ íàïîìíèì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
      (*) Åñëè K ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p è n íå äëèòñÿ íà p, òî ãðóïïà êîðíåé
n-îé ñòåïåíè èç 1 öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà n.  ÷àñòíîñòè, ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ
ãðóïïà âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà p − 1 (ò.ê. ïî
"ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà"äëÿ a 6≡ 0 (mod p) èìååì ap−1 − 1 ≡ 0 (mod p), ò.å.
íåíóëåâûå âû÷èòû ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè p − 1-îé ñòåïåíè èç 1 íàä ïðîñòûì
ïîëåì Pp õàðàêòåðèñòèêè p, è ò.ê. î÷åâèäíî, ÷òî p è p − 1 âçàèìíî ïðîñòû).
      Ïóñòü òåïåðü η  ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü q-îé ñòåïåíè èç 1 (íàä ïîëåì
K = Q), à çíà÷èò êîðåíü Φq (x) (ò.ê. Φq (x) = xx−1                 ) è a  ïåðâîîáðàç-
                                                              q
                                                                −1

íûé êîðåíü (q − 1)-îé ñòåïåíè èç 1 íàä ïîëåì Pq . Òîãäà â ñèëó ñêàçàííîãî
{η, η 2 , ..., η q−1 } = {η, η a , η a , ..., η a }  ìíîæåñòâî âñåõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà
                              2       q−1


Φq (x). Îïðåäåëèì àâòîìîðôèçì σ ïîëÿ K(η) íàä K (ò.å. ýëåìåíò ãðóïïû
Ãàëóà ýòîãî ïîëÿ íàä K ), ïîëàãàÿ σ : η 7→ ηa (ò.å. σ(η) = ηa ). Íåòðóäíî ïðî-
âåðèòü, ÷òî σk (η) = ηa . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî àâòîìîðôèçìû 1, σ, σ2 , ..., σq−2
                          k


ñîñòàâëÿþò âñþ ãðóïïó G(K(η) : K) (K = Q) (σq−1 = 1). Îñòàåòñÿ óáåäèòñÿ,
÷òî âñå îíè ðàçëè÷íû.
      Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòü K(η) íàä K ðàâíà
q − 1, ò.å. ÷òî ýëåìåíòû η, η 2 , ..., η q−1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä K . (Íàïî-
ìíèì, ÷òî {η, η2 , ..., ηq−1 } = {η, ηa , ηa , ..., ηa }.) Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
                                            2      q−1


Φq (x) íåïðèâîäèì, ò.ê. çàâèñèìîñòü c1 η + c2 η 2 + · · · + cq−1 η q−1 = 0 (ci ∈ K)
ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî η åñòü êîðåíü ìíîãî÷ëåíà c1 + c2 x2 + · · · + cq−1 xq−2
ñòåïåíè q − 2. 
                                            10

Страницы