Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
1
A
A P
˜
A
1
= {G ⊇ P ⊇ ··· ⊇ D ⊇ ··· ⊇ 1}
∼
=
{G ⊇ P ⊇ ··· ⊇ G
i
⊇ ··· ⊇ G
r
= 1} =
˜
A.
(b)
B
1
˜
A
1
˜
B
1
= {G ⊇ P ⊇ ··· ⊇ H
1
⊇ ··· ⊇ 1}
∼
=
{G ⊇ P ⊇ ··· ⊇ D ⊇ ··· ⊇ 1} =
˜
A
1
.
(c)
{G ⊇ P ⊇ ··· ⊇ H
1
⊇ D ⊇ ··· ⊇ 1}
∼
=
{G ⊇ P ⊇ G
1
⊇ ··· ⊇ G
2
⊇ ··· ⊇ G
r
= 1}.
s
A B
1
= {G ⊇ H
1
⊇ 1} s = 2
˜
A = {G ⊇ ··· ⊇ G
i
⊇ ··· ⊇ G
r
= 1}
∼
=
{G ⊇ ··· ⊇ H
1
⊇ ··· ⊇ 1} =
˜
B
1
. (d)
B
2
= {H
1
⊇ ··· ⊇ 1}
˜
B
1
B
0
= {H
1
⊇
H
2
⊇ ··· ⊇ H
s
= 1} B
˜
B
2
= {H
1
⊇ ··· ⊇ 1}
∼
=
{H
1
⊇ ··· ⊇ H
2
⊇ ··· ⊇ 1} =
˜
B
0
. (e)
˜
A
˜
B
A = {G ⊇ ··· ⊇ G
i
⊇ ··· ⊇ G
r
= 1}
∼
=
{G ⊇ ··· ⊇ H
i
⊇ ··· ⊇ 1} = B,
B B
2
˜
B
0
G
G
G G
(1)
G
aba
−1
b
−1
, a, b ∈ G
G
G
(1)
G
G
(1)
G
G/G
(1)
F G G/F F ⊇
G
(1)
G
(1)
xaba
−1
b
−1
x
−1
= (xax
−1
)(xbx
−1
)(xa
−1
x
−1
)(xb
−1
x
−1
x
−1
) =
a
1
b
1
a
−1
1
b
−1
1
a
1
= xax
−1
, b
1
= xbx
−1
a, b, x ∈ G
G
(1)
   2) Ñòðîèì èçèìîðôíûå óïëîòíåíèÿ äëÿ ðÿäîâ A1 è A, (ñòðîãî ãîâîðÿ,
âìåñòî A ðàññìàòðèâàåòñÿ åãî óïëîòíåíèå ñ ïîìîùüþ äîáàâëåíèÿ P ; ïî
ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè è çàìå÷àíèþ):
Ã1 = {G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ D ⊇ · · · ⊇ 1} ∼
                                      = {G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ Gi ⊇ · · · ⊇ Gr = 1} = Ã.
                                                                               (b)
   3) Â ñèëó (a) ïî ëåììå 9     B1 èìååò óïëîòíåíèå èçîìîðôíîå :      Ã1

 B̃1 = {G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ H1 ⊇ · · · ⊇ 1} ∼
                                        = {G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ D ⊇ · · · ⊇ 1} = Ã1 .
                                                                               (c)
   4) Èç (b) è (c) ïîëó÷àåì èñêîìûå óïëîòíåíèÿ
{G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ H1 ⊇ D ⊇ · · · ⊇ 1} ∼
                                     = {G ⊇ P ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ G2 ⊇ · · · ⊇ Gr = 1}.

   Ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî   s   . Îïÿòü ðàçáèâàåì ðàññóæäåíèÿ íà øàãè:
   1) Äëÿ A è B1     = {G ⊇ H1 ⊇ 1}      (ñëó÷àé s = 2) èìåþò èçîìîðôíûå
óïëîòíåíèÿ
  Ã = {G ⊇ · · · ⊇ Gi ⊇ · · · ⊇ Gr = 1} ∼
                                         = {G ⊇ · · · ⊇ H1 ⊇ · · · ⊇ 1} = B̃1 .   (d)

   2) Îòðåçîê B2 = {H1 ⊇ · · · ⊇ 1} ðÿäà B̃1 (ñì.(d)) è îòðåçîê B 0 = {H1 ⊇
H2 ⊇ · · · ⊇ Hs = 1} ðÿäà B ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè èìåþò èçîìîðô-
íûå óïëîòíåíèÿ:
           B̃2 = {H1 ⊇ · · · ⊇ 1} ∼
                                  = {H1 ⊇ · · · ⊇ H2 ⊇ · · · ⊇ 1} = B̃ 0 .        (e)

    3) Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 2 èç (d) è (e) èìååì èçîìîðôíûå óïëîòíåíèÿ äëÿ Ã
è B̃ :
    A = {G ⊇ · · · ⊇ Gi ⊇ · · · ⊇ Gr = 1} ∼
                                          = {G ⊇ · · · ⊇ Hi ⊇ · · · ⊇ 1} = B,

ãäå B ïîëó÷åíî çàìåíîé îòðåçêà B2 íà B̃ 0 . 
    Ñëåäñòâèå 3. Âñå êîìïîçèöèîííûå ðÿäû â ãðóïïå G (åñëè îíè ñóùå-
ñòâóþò) èçîìîðôíû.
    Ñëåäñòâèå 4. Ëþáîé íîðìàëüíûé ðÿä áåç ïîâòîðåíèé â êîíå÷íîé ãðóï-
ïå G ìîæíî óïëîòíèòü äî êîìïîçèöèîííîãî.  ÷àñòíîñòè, ëþáóþ íîðìàëü-
íóþ ïîäãðóïïó ìîæíî âêëþ÷èòü â íåêîòîðûé êîìïîçèöèîííûé ðÿä.
    Ïóñòü G  ãðóïïà. Ïîäãðóïïà G(1) â G, ïîðîæäåííàÿ âñåìè ýëåìåíòàìè
âèäà aba−1 b−1 , a, b ∈ G ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé è íàçûâàåòñÿ êîììóòàíòîì
ãðóïïû G.
    Ëåììà 11. Êîììóòàíò G(1) ãðóïïû G ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
    1) G(1)  íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G.
    2) Ãðóïïà G/G(1) àáåëåâà.
    3) Åñëè F  íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G òàêàÿ, ÷òî G/F àáåëåâà, òî F ⊇
G(1) (ò.å. G(1)  ìèíèìàëüíàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ñ òàêèì ñâîéñòâîì).
    Äîêàçàòåëüñòâî.   1) Íîðìàëüíîñòü. Èìååì xaba−1 b−1 x−1 = (xax−1 )(xbx−1 )(xa−1 x−1 )(xb−1 x−1 x−1 ) =
a1 b1 a1 b1 , ãäå a1 = xax−1 , b1 = xbx−1 äëÿ ëþáûõ a, b, x ∈ G, ò.å. ìíîæåñòâî
       −1 −1

îáðàçóþùèõ ïðè ñîïðÿæåíèè ñîõðàíÿåòñÿ, à çíà÷èò è G(1) . 2) Àáåëåâîñòü.
                                         8

Страницы