Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

g ζ n α
R
(ζ, α) = α + ζgα + ζ
2
g
2
α + ··· + ζ
n−1
g
n−1
α.
g(ζ, α) = ζ
−1
(ζ, α)
g
k
(ζ, α) = ζ
−k
(ζ, α)
g(ζ, α)
n
= (ζ, α)
n
c = (ζ, α)
n
K
g
k
(ζ, α), k = 0, ..., n − 1 R = K(γ) γ = (ζ, α)
K n
R n
R = K(γ) γ x
n
− c = 0 K
K p p
x
p
−a a ∈ K
K
G x
p
− a
C
p
p p G
x
p
−a K C
p
x
p
− a
K p x
p
−a
a ∈ K
x
p
− a = (x −c)(x
p−1
+ cx
p−2
+ ··· + c
p−1
)
a = c
p
c ∈ K
f(x) = x
p
−a = ϕ(x)ψ(x) θ f(x)
ϕ(x) =
Q
(x −ζ
k
θ) k {0, ..., p −1}
b = ζ
0
θ
m
b
p
= θ
pm
= a
m
, 0 < m < p
um + vp = 1 a = a
um
a
v p
= b
up
a
v p
= c
p
c = b
u
a
v
G B H, G ⊃ F, G = F H ⇒ G/H
∼
=
F/(F ∩ H)
A B C ⇒ (A B (∃)B B C ⇔ A/C B B/C)
G G
0
= G ⊇
G
1
⊇ ··· ⊇ G
l
= 1 G
i
B G
i+1
G
i
G {G
i
/G
i+1
; i = 0, ..., l −1} l
G
i
= G
i+1
G
i
⊇ G
0
i
⊇ G
i+1
G
ñ îáðàçóþùåé g). Ïóñòü ζ  ïðèìèòèâíûé êîðåíü n-é ñòåïåíè èç 1 è α 
ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ïîëÿ R. Îïðåäåëèì ðåçîëüâåíòó Ëàãðàíæà, ïîëàãàÿ
                (ζ, α) = α + ζgα + ζ 2 g 2 α + · · · + ζ n−1 g n−1 α.

     Èìååì
     1) g(ζ, α) = ζ −1 (ζ, α)
     2) gk (ζ, α) = ζ −k (ζ, α)
Îòñþäà g(ζ, α)n = (ζ, α)n , è ïîòîìó c = (ζ, α)n ëåæèò â K , à òàêæå âñå
g k (ζ, α), k = 0, ..., n − 1 ðàçëè÷íû, ò.å. R = K(γ), ãäå γ = (ζ, α). 
     Ïðåäëîæåíèå 2. Åñëè ïîëå K ñîäåðæèò âñå êîðíè n-é ñòåïåíè èç 1,
òî R ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì ðàñøèðåíèåì ñòåïåíè n òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà R = K(γ), ãäå γ  êîðåíü äâó÷ëåííîãî óðàâíåíèÿ xn − c = 0 íàä K .
     Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ëåìì 4 è 6. 
     Ëåììà 7. Åñëè ïîëå K ñîäåðæèò âñå êîðíè p-é ñòåïåíè èç 1, ãäå p  ïðî-
ñòîå ÷èñëî, òî ìíîãî÷ëåí xp − a (a ∈ K ) ëèáî íåïðèâîäèì, ëèáî ðàçëàãàåòñÿ
íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè íàä K .
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ïðåäëîæåíèþ 2 ãðóïïà Ãàëóà G ìíîãî÷ëåíà xp − a
èçîìîðôíà ïîäãðóïïå Cp (öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà p). Òàê êàê p ïðîñòîå, òî G
ëèáî åäèíè÷íàÿ è ïîòîìó âñå êîðíè xp − a ëåæàò â K , ëèáî èçîìîðôíà Cp ,
ò.å. âñå êîðíè ñîïðÿæåíû è ìíîãî÷ëåí xp − a íåïðèâîäèì. 
     Ëåììà 8.  ïðîèçâîëüíîì ïîëå K äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëà p ìíîãî÷ëåí xp −a
(a ∈ K ) ëèáî íåïðèâîäèì, ëèáî èìååò ëèíåéíûé ìíîæèòåëü, ò.å.
                 xp − a = (x − c)(xp−1 + cxp−2 + · · · + cp−1 )

è a = cp (c ∈ K ).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x) = xp −a = ϕ(x)ψ(x) è θ  êîðåíü f (x). Òîãäà
ϕ(x) = (x − ζ θ) (ãäå k ïðîáåãàåò íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî â {0, ..., p − 1})
               k
       Q
è åãî ñâîáîäíûé ÷ëåí b = ζ 0 θm . Èìååì bp = θpm = am , 0 < m < p. Ïóñòü
um + vp = 1. Òîãäà a = aum avp = bup avp = cp , ãäå c = bu av . 

        4. Íîðìàëüíûå è êîìïîçèöèîííûå ðÿäû â ãðóïïàõ

   Íàïîìèíàíèå  : 1) G B H, G ⊃ F, G = F H ⇒ G/H ∼= F/(F ∩ H). (T1 î
ãîìîìîðôèçìàõ.)
     2) A B C ⇒ (A B (∃)B B C ⇔ A/C B B/C). (T2 î ãîìîìîðôèçìàõ.)
   Íîðìàëüíûé ðÿä ãðóïïû G  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäãðóïï G0 = G ⊇
G1 ⊇ · · · ⊇ Gl = 1, â êîòîðîì Gi B Gi+1 (íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â Gi , íî
íå îáÿçàòåëüíî â G). {Gi /Gi+1 ; i = 0, ..., l − 1}  ôàêòîðû ðÿäà, l  äëèíà
ðÿäà (÷èñëî ôàêòîðîâ).
   Ïîâòîðåíèÿ (Gi = Gi+1 ) è óïëîòíåíèÿ (Gi ⊇ G0i ⊇ Gi+1 ).
   Êîìïîçèöèîííûé ðÿä ãðóïïû G  íå èìåþùèé ïîâòîðåíèé è íåóïëîò-
íÿåìûé (áåç ïîâòîðåíèé) íîðìàëüíûé ðÿä.
   Äâà íîðìàëüíûõ ðÿäà îäèíàêîâîé äëèíû íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñ-
ëè ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâèå ìåæäó èõ ôàêòîðàìè, ïðè êîòîðîì ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ôàêòîðû èçîìîðôíû.
                                         6

Страницы