Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P K ⊂ P ⊂ R G(R : P ) G(R : K)
G(R : P ) G(R : K)
P H G(R : K)
Q K ⊂ Q ⊂ R H = G(R : Q)
Q R
H
G(R : K)
R K
P
Q P
H R
K H ⊆ G(R : Q) R = P (θ) H = {h
1
, ..., h
m
}
f(x) = (x − θ
1
) ···(x −θ
m
) θ
i
= θh
i
θ
1
, ..., θ
m
H Q
Q(θ) = R K(θ) = R) θ = θ
i
i
θ Q ≤ m
f(x) G(R : Q)
(R : Q) ≤ m = m H = G(R : Q)
K ⊂ R K γ ∈ R G
γ
γ G(R : K) G
γ
= G(K(γ) : K)
G
γ
γ β = γh ⇔ h ∈ G
γ
g
γh = γg γhg
−1
= γ hg
−1
∈ G
γ
K ⊂ Q ⊂ R Q
R g ∈ G(R : K) Qg
K ⊂ Qg ⊂ R K
G(R : Qg) = g
−1
G(R : Q)g
K ⊂ Q ⊂ R
Qg
G(R : Qg) = g
−1
G(R : Q)g Qg(g
−1
G(R : Q)g) = Qg
γ ∈ Q γgh = γg γghg
−1
= γ ghg
−1
∈ G(R : Q)
h ∈ g
−1
G(R : Q)g
Q K
G(R : Q) G(R : K)
G(Q : K)
∼
=
G(R : K)/G(R : Q)
F K
P K ⊂ P ⊂ F
f P
F K 
    Ïðåäëîæåíèå î ðàâåíñòâå ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ è ïîðÿäêà åãî ãðóïïû
Ãàëóà.
    Ïðîìåæóòî÷íûå ïîëÿ.
    Òåîðåìà 1 (Î ñîîòâåòñòâèè Ãàëóà). 1) Êàæäîìó ïðîìåæóòî÷íîìó ïîëþ
P : K ⊂ P ⊂ R ñîîòâåòñòâóåò ïîäãðóïïà G(R : P ) â G(R : K), à èìåííî,
G(R : P )  ìíîæåñòâî òåõ àâòîìîðôèçìîâ â G(R : K), êîòîðûå îñòàâëÿþò
âñå ýëåìåíòû èç P ñòàáèëüíûìè. 2) Êàæäîé ïîäãðóïïå H â G(R : K) ñîîò-
âåòñòâóåò ïðîìåæóòî÷íîå ïîëå Q: K ⊂ Q ⊂ R, äëÿ êîòîðîãî H = G(R : Q),
ò.å. Q åñòü ìíîæåñòâî âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ èç R, êîòîðûå îñòàþòñÿ ñòàáèëü-
íûìè ïîä äåéñòâèåì âñåõ àâòîìîðôèçìîâ èç H .
    Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðå-
äåëåíèÿ ãðóïïû G(R : K) ââèäó óòî÷íåíèÿ, ñäåëàííîãî ïîñëå íåãî. Çäåñü
åùå îòìåòèì òîëüêî, ÷òî åñëè R íîðìàëüíî íàä K , òî òåì áîëåå íîðìàëüíî
íàä ëþáûì ïðîìåæóòî÷íûì ïîëåì P .
    2) Ìíîæåñòâî Q âñåõ ýëåìåíòîâ â P ñòàáèëüíûõ ïîä äåéñòâèåì âñåõ àâòî-
ìîðôèçìîâ èç ïîäãðóïïû H , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ïîäïîëåì â R, ñîäåðæàùèì
K , è î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî H ⊆ G(R : Q). Ïóñòü R = P (θ) è H = {h1 , ..., hm }.
Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí f (x) = (x − θ1 ) · · · (x − θm ), ãäå θi = θhi . Âñå åãî êî-
ýôôèöèåíòû ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îò θ1 , ..., θm , à ïîòîìó
ñòàáèëüíû ïîä äåéñòâèåì H , è ïî îïðåäåëåíèþ Q ëåæàò â íåì. Î÷åâèäíî,
÷òî Q(θ) = R (ò.ê. K(θ) = R) è θ = θi äëÿ íåêîòîðîãî i. Ïîýòîìó ñòåïåíü
ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíàθ íàä Q ≤ m (ò.ê. îí äîëæåí áûòü äåëèòåëåì
f (x)). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîðÿäîê G(R : Q) ðàâíûé ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ
(R : Q) ≤ m, ò.å. = m è, ñëåäîâàòåëüíî, H = G(R : Q). 
    Ëåììà 2. Ïóñòü K ⊂ R  íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå K , γ ∈ R è Gγ 
ñòàáèëèçàòîð γ â G(R : K) (ò.å. Gγ = G(K(γ) : K). Èìååò ìåñòî âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ëåâûìè êëàññàìè ñìåæíîñòè Gγ è ñîïðÿ-
æåííûìè ñ γ ýëåìåíòàìè, à èìåííî, β = γh ⇔ h ∈ Gγ g.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü γh = γg, òîãäà γhg−1 = γ , ò.å. hg−1 ∈ Gγ . È
îáðàòíî. 
    Ëåììà 3. Ïóñòü K ⊂ Q ⊂ R, ãäå Q  ïðîìåæóòî÷íîå ðàñøèðåíèå â
íîðìàëüíîì ðàñøèðåíèè R. Åñëè g ∈ G(R : K), òî Qg  òîæå ïðîìåæóòî÷-
íîå ðàñøèðåíèå: K ⊂ Qg ⊂ R, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì íàä K , è
G(R : Qg) = g −1 G(R : Q)g .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî K ⊂ Q ⊂ R ñëåäóåò ñðàçó èç îïðåäåëåíèé, à
òî, ÷òî Qg  ïîäïîëå ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü ðàâåíñòâî
G(R : Qg) = g −1 G(R : Q)g : Qg(g −1 G(R : Q)g) = Qg è îáðàòíî, ïóñòü äëÿ
âñÿêîãî γ ∈ Q èìååì γgh = γg, òîãäà γghg−1 = γ , ò.å. ghg−1 ∈ G(R : Q) è
h ∈ g −1 G(R : Q)g . 
    Ñëåäñòâèå 1.. Â óñëîâèÿõ ëåììû 2 Q  íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå K
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà G(R : Q)  íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G(R : K),
è G(Q : K) ∼= G(R : K)/G(R : Q) (ôàêòîð ãðóïïà).
    Ëåììà 4. Åñëè ïîëå F åñòü íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ K , òî îíî åñòü
íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå è äëÿ ëþáîãî ïðîìåæóòî÷íîãî ïîëÿ P : K ⊂ P ⊂ F .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Âñÿêèé íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí f íàä P (c êîðíÿìè
â F ) ÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëåì íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà íàä K . 
                                        4

Страницы