ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
γ
K K
K γ
γ K K
γ
f
γ
(x)
f(x)
γ x = γ f
γ
(x)
f(x) = q(x)f
γ
(x) + r(x) r(x)
f
γ
(x)
f
γ
(γ) = 0 f(γ) = 0
r(γ) = 0
K
K
γ K
K
f
γ
(x) γ
γ
f
γ
(x)
K K
K
K F F
K F ⊇ K F
K
K
R K
R K
R K
(R : K) = dim
K
R
×àñòü I (I ñåìåñòð)
1. Êîíå÷íûå àëãåáðàè÷åñêèå ðàñøèðåíèÿ
Àëãåáðàè÷åñêèé ýëåìåíò íàä ïîëåì. Ýëåìåíò γ íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷å-
ñêèì íàä ïîëåì K , åñëè ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí íàä K (ò.å. ñ êîýôôèöèåí-
òàìè â K ), êîðíåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ γ .
Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí àëãåáðàè÷åñêîãî ýëåìåíòà. Ìèíèìàëüíûì ìíî-
ãî÷ëåíîì ýëåìåíòà γ (íàä K ) íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí íàä K ìèíèìàëüíîé
ñòåïåíè ñðåäè òåõ, êîðíåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ γ . Îáîçíà÷èì ýòîò ìíîãî÷ëåí
÷åðåç fγ (x). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî åãî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ðàâåí 1.
Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) Äåëèìîñòü. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí f (x), êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â íóëü ýëå-
ìåíòîì γ (ïðè x = γ ), äåëèòñÿ íà ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí fγ (x).
Äåéñòâèòåëüíî, âñåãäà èìååì f (x) = q(x)fγ (x) + r(x), ãäå r(x) ëèáî íó-
ëåâîé ìíîãî÷ëåí, ëèáî èìååò ñòåïåíü ìåíüøå ñòåïåíè äåëèòåëÿ fγ (x). À òàê
êàê, êðîìå òîãî, èç ýòîãî ðàâåíñòâà (è ïðåäïîëîæåíèé fγ (γ) = 0 è f (γ) = 0)
èìååì r(γ) = 0, òî âòîðàÿ âîçìîæíîñòü èñêëþ÷àåòñÿ.
2) Åäèíñòâåííîñòü. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ îä-
íîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ èç K (è çíà÷èò, åñëè ñòàðøèé êîýô-
ôèöèåíò ðàâåí 1, òî òî÷íî îäíîçíà÷íî).
Åñëè ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ äâà, òî ïî ïåðâîìó ñâîéñòâó îíè äîëæ-
íû äåëèòü äðóã äðóãà, à çíà÷èò îòëè÷àòñÿ òîëüêî ìíîæèòåëåì èç K .
3) Íåïðèâîäèìîñòü. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà γ íàä K íåïðè-
âîäèì íàä K .
Åñëè ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí fγ (x) ýëåìåíòà γ ðàçëàãàåòñÿ íà äâà ìíî-
æèòåëÿ, òî γ äîëæåí áûòü êîðíåì îäíîãî èç íèõ, ñòåïåíü êîòîðîãî ìåíüøå
ñòåïåíè fγ (x).
Ñîïðÿæåííûå ýëåìåíòû. Äâà ýëåìåíòà íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè íàä
K , åñëè èõ ìèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû íàä K ñîâïàäàþò (ò.å. îíè ÿâëÿþòñÿ
êîðíÿìè îäíîãî è òîãî æå íåïðèâîäèìîãî íàä K ìíîãî÷ëåíà).
Àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå. Ïóñòü K ïîäïîëå ïîëÿ F , òîãäà F íà-
çûâàåòñÿ ðàñøèðåíèåì (èëè íàäïîëåì) ïîëÿ K (F ⊇ K ). Ðàñøèðåíèå F
íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì íàä K , åñëè âñå åãî ýëåìåíòû àëãåáðàè÷åñêèå
íàä K .
Êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå è åãî àëãåáðàè÷íîñòü. Ðàñøèðåíèå R ïîëÿ K íà-
çûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè R, êàê ïðîñòðàíñòâî íàä K , êîíå÷íîìåðíî. Ðàç-
ìåðíîñòü R íàä K íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ðàñøèðåíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
(R : K) = dimK R.
Òåîðåìà 1. (Î ïðîñòîòå êîíå÷íîãî ðàñøèðåíèÿ.) Âñÿêîå êîíå÷íîå (ñåïà-
ðàáåëüíîå) ðàñøèðåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïðèñîåäèíåíèåì îäíîãî (ïðè-
ìèòèâíîãî) ýëåìåíòà.
Íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå. Ðàñøèðåíèå íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì, åñëè âìå-
ñòå ñ êàæäûì ýëåìåíòîì îíî ñîäåðæèò è âñå åãî ñîïðÿæåííûå.
Ïåðâûé êðèòåðèé íîðìàëüíîñòè: Ðàñøèðåíèå (êîíå÷íîå) ÿâëÿåòñÿ íîð-
ìàëüíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëó÷åíî ïðèñîåäèíåíèåì âñåõ êîðíåé
êàêîãî-ëèáî ìíîãî÷ëåíà.
2
