Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ : R → Q K
R∩Q ϕ K K
ϕ K
K
K
K ⊂ Q ⊂ R
K ⊂ Q
0
K ϕ : Q → Q
0
K
Q
0
⊂ R
0
ψ : R → R
0
ϕ ψ = ϕ
Q ψ K
Q = K(α) R =
Q(β) R = K(α, β) Q
0
= K(α
0
) α α
0
K b
0
x
n
+ b
1
x
n−1
+ ··· + b
n−1
x + b
n
β Q β
0
b
0
0
x
n
+b
0
1
x
n−1
+
··· + b
0
n−1
x + b
0
n
b
0
i
= ϕb
i
b
i
ϕ
R
0
= Q(β
0
) R = K(α, β) →
K(α
0
, β
0
) = R
0
α 7→ α
0
, β 7→ β
0
K ⊂ R
R K
R K
K R
K G(R : K)
G(R :
K) K
K ⊂ R γ ∈ R
G(R : K)
γ ∈ K
R = K(θ) γ = c
0
+ c
1
θ + ··· + c
m
θ
m
θ
1
, ..., θ
n
θ nγ = c
0
+
c
1
s
1
+ ··· + c
m
s
m
s
i
i θ
1
, ..., θ
n
s
i
K nγ ∈ K
f
γ
(x) = a
0
x
m
+ ···+ a
m
γ K m = 1 m > 1 γ
m γ
i
γ → γ
i
K(γ) K R K
γ 
      Èçîìîðôèçìû è àâòîìîðôèçìû íàä ïîëåì. Ïåðåõîä â ñîïðÿæåííûé ïðè
èçîìîðôèçìå. Ïóñòü ϕ : R → Q  èçîìîðôèçì ïîëåé è K  ïîëå ëåæàùåå â
R ∩ Q. ϕ íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì íàä K , åñëè âñå ýëåìåíòû èç K ñòàáèëü-
íû (îñòàþòñÿ íà ìåñòå) ïîä äåéñòâèåì ϕ. Êàæäûé àëãåáðàè÷åñêèé íàä K
ýëåìåíò ïîä äåéñòâèåì èçîìîðôèçìà íàä K ïåðåõîäèò â ñîïðÿæåííûé (ò.ê.
îáðàç äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü òîìó æå óðàâíåíèþ, ÷òî è ïðîîáðàç). Ïîýòîìó
èìååì:
      Âòîðîé êðèòåðèé íîðìàëüíîñòè: Ðàñøèðåíèå (êîíå÷íîå) ÿâëÿåòñÿ íîð-
ìàëüíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñÿêèé åãî èçîìîðôèçì íàä K ÿâëÿ-
åòñÿ àâòîìîðôèçìîì (èçîìîðôèçìîì â ñåáÿ).
      Ïðåäëîæåíèå 1 (Î ïðîäîëæåíèè èçîìîðôèçìîâ). Ïóñòü K ⊂ Q ⊂ R
 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñøèðåíèé ïîëåé. Åñëè K ⊂ Q0  òîæå ðàñøèðåíèå
ïîëÿ K è ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì ϕ : Q → Q0 íàä K , òî ñóùåñòâóåò ðàñøè-
ðåíèå Q0 ⊂ R0 è èçîìîðôèçì ψ : R → R0 , ïðîäîëæàþùèé ϕ (ò.å. ψ = ϕ íà
ýëåìåíòàõ èç Q, â ÷àñòíîñòè, ψ  èçîìîðôèçì íàä K ).
      Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà Q = K(α) è R =
Q(β), ò.å. R = K(α, β).  ýòîì ñëó÷àå Q0 = K(α0 ), ãäå α è α0  ñîïðÿæåííûå
íàä K ýëåìåíòû. Ïóñòü b0 xn + b1 xn−1 + · · · + bn−1 x + bn  ìèíèìàëüíûé
ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà β íàä Q è β 0  ëþáîé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà b00 xn +b01 xn−1 +
· · · + b0n−1 x + b0n , ãäå b0i = ϕbi  îáðàç ýëåìåíòà bi ïðè èçîìîðôèçìå ϕ, è
R0 = Q(β 0 ). ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî èñêîìûé èçîìîðôèçì R = K(α, β) →
K(α0 , β 0 ) = R0 îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâèåì α 7→ α0 , β 7→ β 0 . 

                     2. Òåîðåìà Ãàëóà î ñîîòâåòñòâèè

     Îïðåäåëåíèå ãðóïïû Ãàëóà. Ïóñòü K ⊂ R  íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå,
ò.å. êàæäûé èçîìîðôèçì R íàä K ÿâëÿåòñÿ àâòîìîðôèçìîì. Ìíîæåñòâî
âñåõ àâòîìîðôèçìîâ R íàä K , ò.å. òàêèõ êîòîðûå îñòàâëÿþò âñå ýëåìåíòû
èç K ñòàáèëüíûìè, ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé Ãàëóà R
íàä K è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç G(R : K).
     Ñäåëàåì âàæíîå óòî÷íåíèå: âñå (â ñîâîêóïíîñòè) àâòîìîðôèçìû èç G(R :
K) îñòàâëÿþò ñòàáèëüíûìè òîëüêî ýëåìåíòû èç K â ñèëó ñëåäóþùåé ëåì-
ìû.
     Ëåììà 1. Ïóñòü K ⊂ R  íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå. Ýëåìåíò γ ∈ R ñòà-
áèëåí ïîä äåéñòâèåì âñåõ àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïû G(R : K) òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà γ ∈ K .
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü R = K(θ) è γ = c0 + c1 θ + · · · + cm θm . Ïóñòü
θ1 , ..., θn  âñå ðàçëè÷íûå ñîïðÿæåííûå ýëåìåíòû äëÿ θ. Òîãäà nγ = c0 +
c1 s1 + · · · + cm sm , ãäå si  i-òàÿ ñòåïåííàÿ ñóììà îò θ1 , ..., θn . Ïî òåîðåìå î
ñèììåòðè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ âñå si ëåæàò â K , à ñëåäîâàòåëüíî, è nγ ∈ K .
     Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà òåîðåìå î ïðîäîëæåíèè èçîìîðôèç-
ìîâ íà ðàñøèðåíèÿ. Ïóñòü fγ (x) = a0 xm + · · · + am  ìèíèìàëüíûé ìíîãî-
÷ëåí ýëìåíòà γ íàä K . Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî m = 1. Åñëè m > 1, òî γ èìååò
m ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ γi . È êàæäîå ñîîòâåòñòâèå γ → γi ïðîäîëæàåòñÿ
äî èçîìîðôèçìà K(γ) íàä K , à ïîòîì è äî àâòîìîðôèçìà R íàä K , êîòîðûå
ïî îïðåäåëåíèþ íå îñòàâëÿþò γ ñòàáèëüíûì. 
                                         3

Страницы