Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ··· + a
n−1
x + a
n
= 0
K
K n n
f(x) = x
n
− a a ∈ K
θ f(x) ζ n
ζ ∈ K ζ
i
θ, i = 0, ..., n −1 f(x)
ζ
i
θ = ζ
j
θ ⇒ ζ
i
= ζ
j
K(θ)
f(x) g G = G(K(θ) : K)
θ → ζ
i
θ G → U
n
G
n g 7→ ζ
i
G
U
n
R
g
1
, ..., g
m
R a
1
, ..., a
m
∈ R g = a
1
g
1
+ ··· + a
m
g
m
g(x) = 0 ∀x ∈ R
a
i
= 0 m m = 1 a
1
g
1
(x) + ··· +
a
m
g
m
(x) = 0 x ∈ R a ∈ R
a
1
g
1
(ax)+···+a
m
g
m
(ax) = 0 g
m
(a)
g
i
m−1
P
i=1
a
i
(g
i
(a) − g
m
(a))g
i
(x) = 0
a
i
(g
i
(a) − g
m
(a)) =
0, i = 1, ..., m −1 g
i
a ∈ R a
i
= 0, i = 1, ..., m − 1 a
m
= 0
f, g
f, g, f + g g 6= −f
f + g
K n R
n R = K(γ) γ
x
n
− c = 0 K
K n K ⊂ R
n
               3. Ãðóïïà Ãàëóà äâó÷ëåííîãî ìíîãî÷ëåíà

    Òåîðåìà 2   (Î ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ). Óðàâíåíèå
                     a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0

íàä K ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ãðóïïà Ãàëóà
ðàçðåøèìà.
    Ëåììà 4. Ïóñòü ïîëå K ñîäåðæèò âñå êîðíè n-îé ñòåïåíè èç 1 (è n
âçàèìíî ïðîñòî ñ õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ). Òîãäà ãðóïïà Ãàëóà äâó÷ëåííîãî
ìíîãî÷ëåíà f (x) = xn − a (a ∈ K ) öèêëè÷íà.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü θ  êîðåíü f (x) è ζ  ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü n-
îé ñòåïåíè èç 1 (ζ ∈ K ). Òîãäà ζ i θ, i = 0, ..., n − 1  âñå êîðíè f (x), êîòîðûå
ðàçëè÷íû (ò.ê. ζ i θ = ζ j θ ⇒ ζ i = ζ j ). Ïîýòîìó K(θ)  ïîëå ðàçëîæåíèÿ
f (x) è êàæäûé ýëåìåíò g ãðóïïû Ãàëóà G = G(K(θ) : K) çàäàåòñÿ ñîîò-
âåòñòâèåì θ → ζ i θ è îïðåäåëÿåò ãîìîìîðôèçì G → Un (G â ãðóïïó êîðíåé
n-îé ñòåïåíè èç 1) ñîîòâåòñòâèåì g 7→ ζ i (ïðîâåðèòü). Òàêèì îáðàçîì, G
èçîìîðôíà íåêîòîðîé ïîäãðóïïå öèêëè÷åñêîé ãðóïïû Un , à ïîòîìó ñàìà
öèêëè÷íà. 
    Ëåììà 5. (Î íåçàâèñèìîñòè àâòîìîðôèçìîâ.) Ïîïàðíî ðàçëè÷íûå (íåíó-
ëåâûå) àâòîìîðôèçìû ïîëÿ R ëèíåéíî íåçàâèñèìû (êàê ôóíêöèè).
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g1 , ..., gm  ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå àâòîìîðôèçìû
ïîëÿ R è ñóùåñòâóþò òàêèå a1 , ..., am ∈ R òàêèå, ÷òî g = a1 g1 + · · · + am gm
 íóëåâîé àâòîìîðôèçì (ò.å. g(x) = 0 ∀x ∈ R). Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî âñå
ai = 0. Èíäóêöèÿ ïî m. Ñëó÷àé m = 1 î÷åâèäåí. Ïóñòü a1 g1 (x) + · · · +
am gm (x) = 0 (*) äëÿ ëþáîãî x ∈ R, íî òîãäà äëÿ ëþáîãî a ∈ R èìååì òàêæå
a1 g1 (ax)+· · ·+am gm (ax) = 0 (**). Óìíîæèì (*) íà gm (a) è âû÷òåì ðåçóëüòàò
èç (**). Ïîëó÷èì (ò.ê. gi  àâòîìîðôèçì): P ai (gi (a) − gm (a))gi (x) = 0,
                                                   m−1


îòêóäà â ñèëó èíäóêöèîííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ èìååì ai (gi (a) − gm (a)) =
                                                    i=1


0, i = 1, ..., m − 1. Òàê êàê âñå gi ðàçëè÷íû è ðàâåíñòâà ýòè èìåþò ìåñòî äëÿ
ëþáîãî a ∈ R, òî îòñþäà èìååì ai = 0, i = 1, ..., m − 1, à çíà÷èò è am = 0.

    Çàìå÷àíèå 1. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî âñÿêèé ãîìîìîðôèçì ÿâëÿåòñÿ
ôóíêöèåé, íî íå âñÿêàÿ ôóíêöèÿ åñòü ãîìîìîðôèçì.  ÷àñòíîñòè, ëèíåé-
íàÿ êîìáèíàöèÿ ãîìîìîðôèçìîâ â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèç-
ìîì. Íàïðèìåð, ïóñòü f, g  ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå ãîìîìîðôèçìû, òîãäà
f, g, f + g  ïîïàðíî ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå (ïðè g 6= −f ), íî ëèíåéíî çàâè-
ñèìû ïî îïðåäåëåíèþ, ò.ê. f + g íå ãîìîìîðôèçì. Òàêèì îáðàçîì, ëåììà 5
ñïðàâåäëèâà òîëüêî äëÿ àâòîìîðôèçìîâ (ãîìîìîðôèçìîâ).
    Ëåììà 6. Åñëè ïîëå K ñîäåðæèò âñå êîðíè n-é ñòåïåíè èç 1 è R  åãî
öèêëè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ñòåïåíè n, òî R = K(γ), ãäå γ  êîðåíü äâó÷ëåí-
íîãî óðàâíåíèÿ xn − c = 0 íàä K .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K ñîäåðæèò âñå êîðíè n-é ñòåïåíè èç 1 è K ⊂ R
 öèêëè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ñòåïåíè n (ò.å. åãî ãðóïïà Ãàëóà öèêëè÷åñêàÿ
                                        5

Страницы