Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

G
i
⊇ G
i+1
G
0
j
⊇ G
0
j+1
G
i
/G
i+1
∼
=
G
0
j
/G
0
j+1
G
i
⊇ F
1
⊇ ··· ⊇ F
t
⊇ G
i+i
H
1
, H
2
, ..., H
t
G
0
j
⊇ H
1
⊇ ··· ⊇ H
t
⊇ G
0
j+1
F
k
/F
k+1
∼
=
H
k
/H
k+1
, k = 0, ..., t F
0
= G
i
, F
t+1
= G
i+1
H
0
= G
0
j
, H
t+1
= G
0
j+1
t = 1
t F
1
⊇ G
i+1
H
1
⊇ G
0
j+1
A
∼
=
B
G B
0
B B = {C ⊇ B
0
} D
B
0
D
∼
=
˜
B
0
A
˜
A {C ⊇ D}
˜
A
∼
=
{C ⊇ D}
˜
B = {C ⊇
˜
B
0
} B
˜
B
∼
=
{C ⊇ D}
˜
A A
˜
B
˜
A
∼
=
˜
B
˜
A
∼
=
{C ⊇ D}
G ⊇ G
1
⊇ 1 G ⊇ H
1
⊇ 1
{G ⊇ P ⊇ G
1
⊇ D ⊇ 1}
∼
=
{G ⊇ P ⊇ H
1
⊇ D ⊇ 1} P = G
1
H
1
, D =
G
1
∩ H
1
G
1
H
1
P D P D G ⊇ P ⊇
G
1
⊇ D ⊇ 1 G ⊇ P ⊇ H
1
⊇ D ⊇ 1
P/G
1
∼
=
H
1
/D G
1
/D
∼
=
P/H
1
P/G
1
= G
1
H
1
/G
1
∼
=
H
1
/(G
1
∩ H
1
) = H
1
/D
X = {Z ⊇ X
0
} Y = {Z ⊇ Y
0
}
X
0
, Y
0
˜
X
0
∼
=
˜
Y
0
˜
X = {Z ⊇
˜
X
0
}
∼
=
{Z ⊇
˜
Y
0
} =
˜
Y
G
A = {G ⊇ G
1
⊇ ··· ⊇ G
r
= 1}, B = {G ⊇ H
1
⊇ ··· ⊇ H
s
= 1}
G s r
s r ≥ s s = 1
G ⊇ 1
s = 2 B = {G ⊇ H
1
⊇ 1} r
A
1
= {G ⊇ P ⊇ G
1
⊇ D ⊇ 1}
∼
=
{G ⊇ P ⊇ H
1
⊇ D ⊇ 1} = B
1
, (a)
P = G
1
H
1
, D = G
1
∩ H
1
     Ëåììà 9. Åñëè äâà ðÿäà èçîìîðôíû, òî âñÿêîå óïëîòíåíèå îäíîãî èìååò
èçîìîðôíîå óïëîòíåíèå äðóãîãî.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Gi ⊇ Gi+1 è G0j ⊇ G0j+1  îòðåçêè íîðìàëüíûõ
ðÿäîâ, äëÿ êîòîðûõ Gi /Gi+1 ∼= G0j /G0j+1 . Åñëè Gi ⊇ F1 ⊇ · · · ⊇ Ft ⊇ Gi+i
 óïëîòíåíèå ïåðâîãî èç íèõ, òî ïî T2 î ãîìîìîðôèçìàõ ïîñëåäîâàòåëüíî
íàéäóòñÿ H1 , H2 , ..., Ht òàêèå, ÷òî G0j ⊇ H1 ⊇ · · · ⊇ Ht ⊇ G0j+1  óïëîòíåíèå
âòîðîãî, â êîòîðîì Fk /Fk+1 ∼= Hk /Hk+1 , k = 0, ..., t (F0 = Gi , Ft+1 = Gi+1 è
H0 = G0j , Ht+1 = G0j+1 ) (Ïðè t = 1 íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå T2, çàòåì
èíäóêöèÿ ïî t ïðèìåíåííàÿ ê F1 ⊇ Gi+1 è H1 ⊇ G0j+1 .) 
     Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü A ∼    = B  èçîìîðôèçì íîðìàëüíûõ ðÿäîâ â ãðóïïå
G è B 0  îòðåçîê ðÿäà B , ò.å. B = {C ⊇ B 0 }. Åñëè D  íîðìàëüíûé ðÿä èçî-
ìîðôíûé íåêîòîðîìó óïëîòíåíèþ B 0 : D ∼= B̃ 0 , òî ðÿä A èìååò óïëîòíåíèå
à èçîìîðôíîå {C ⊇ D}: à ∼    = {C ⊇ D}.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî B̃ = {C ⊇ B̃ 0 } åñòü óïëîòíåíèå B è
B̃ ∼= {C ⊇ D} (*). Ïî ëåììå 9 ñóùåñòâóåò óïëîòíåíèå Ã ðÿäà A èçîìîðôíîå
B̃ : Ã ∼
        = B̃ . Îòñþäà è (*) ïîëó÷àåì à ∼ = {C ⊇ D} 
     Ëåììà 10. Ïóñòü G ⊇ G1 ⊇ 1 è G ⊇ H1 ⊇ 1  íîðìàëüíûå ðÿäû, òî
{G ⊇ P ⊇ G1 ⊇ D ⊇ 1} ∼       = {G ⊇ P ⊇ H1 ⊇ D ⊇ 1}, ãäå P = G1 H1 , D =
G1 ∩ H1 .
     Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê G1 è H1 íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû, òî òàêîâûìè
æå ÿâëÿþòñÿ P è D. Ïî îïðåäåëåíèþ P è D èìååì âêëþ÷åíèÿ G ⊇ P ⊇
G1 ⊇ D ⊇ 1 è G ⊇ P ⊇ H1 ⊇ D ⊇ 1. Îñòàåòñÿ îòìåòèòü, ÷òî ïî T1
î ãîìîìîðôèçìàõ P/G1 ∼= H1 /D è G1 /D ∼= P/H1 . (P/G1 = G1 H1 /G1 ∼=
H1 /(G1 ∩ H1 ) = H1 /D, àíàëîãè÷íî âòîðîå.) 
     Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü X = {Z ⊇ X 0 } è Y = {Z ⊇ Y 0 }  íîðìàëüíûå
ðÿäû è X 0 , Y 0 èìåþò èçîìîðôíûå óïëîòíåíèÿ: X̃ 0 ∼= Ỹ 0 , òî èçîìîðôíû
òàêæå X̃ = {Z ⊇ X̃ 0 } ∼= {Z ⊇ Ỹ 0 } = Ỹ ).
     Òåîðåìà 3. (Øðàéåðà) Äâà ïðîèçâîëüíûõ íîðìàëüíûõ ðÿäà ãðóïïû G
èìåþò èçîìîðôíûå óïëîòíåíèÿ.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
       A = {G ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gr = 1},       B = {G ⊇ H1 ⊇ · · · ⊇ Hs = 1}

 íîðìàëüíûå ðÿäû â ãðóïïå G. Èñïîëüçóåì èíäóêöèþ ïî s (ñ ëþáûì r)
è äëÿ êàæäîãî s ïî r ≥ s. Ñëó÷àé s = 1 î÷åâèäåí (ò.ê. âñÿêèé ðÿä åñòü
óïëîòíåíèå òðèâèàëüíîãî G ⊇ 1).
   Ñëó÷àé s = 2. B = {G ⊇ H1 ⊇ 1}. Èíäóêöèÿ ïî r , îñíîâàíèå êîòîðîé
äàåò ëåììà 10. Çàòåì äåëàåì èíäóêöèîííîå ïðåäïîëîæåíèå è çàìåòèì, ÷òî
åñëè îíî ïðèìåíèìî ê ñîîòâåòñòâóþùèì îòðåçêàì ðÿäîâ, òî îíî ïðèìåíèìî
è ê öåëûì ðÿäàì (â ñèëó çàìå÷àíèÿ). Ðàçîáüåì äîêàçàòåëüñòâî íà ñëåäóþ-
ùèå øàãè:
   1) Ñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûå èçèìîðôíûå (ïî ëåììå 10) íîðìàëüíûå ðÿ-
äû:
       A1 = {G ⊇ P ⊇ G1 ⊇ D ⊇ 1} ∼
                                 = {G ⊇ P ⊇ H1 ⊇ D ⊇ 1} = B1 ,              (a)

ãäå P = G1 H1 , D = G1 ∩ H1 .
                                        7

Страницы