Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

G → G/F a 7→ a = aF
a, b ∈ G x = aba
−1
b
−1
x = aba
−1
b
−1
= 1
G/F x ∈ F x
G
(1)
G
(1)
F
G
(1)
⊆ F
G = G
(0)
⊇ G
(1)
⊇ G
(2)
⊇ ··· ⊇ G
(s)
G
(i+1)
G
(i)
, i = 0, ..., s −1 s
G
(s+1)
= G
(s)
G
(s+i)
= G
(s)
i > 0
G
(s)
= 1
G
(s)
6= 1
G
G
G
s G
(s)
= 1
(2) → (1) G/H
F/H G ⊃ F ⊃ H
(3) → (2) G
(s)
= 1 s
(1) → (3) G
(s)
G
(s)
= G
(s+1)
G
(s)
6= 1
G
(s)
⊃ H
1
⊃ ··· ⊃ 1 H
1
G
(s)
G
(s)
/H
1
G
(s)
= G
(s+1)
G
(s)
⊃ H
1
⊇ G
(s+1)
f(x) = a
0
x
n
+a
1
x
n−1
+···+a
n−1
x+a
n
K α
1
, ..., α
n
F = K(α
1
, ..., α
n
)
f(x) = 0
K
K = K
0
⊂ K
1
⊂ ··· ⊂ K
m
= R, (1)
F ⊆ R K
i
= K
i−1
(γ
i
) γ
i
K
i−1
h
i
(x) = x
p
i
− c
i
c
i
∈ K
i−1
p
i
3) Ïóñòü G → G/F åñòåñòâåííûé ãîìîìîðôèçì, ïðè êîòîðîì a 7→ −1         a = aF
(ýëåìåíò â ñâîé êëàññ). Åñëè a, b ∈ G è x = aba b , òî x = aba b = 1,
                                                    −1 −1           −1

ò.ê. G/F àáåëåâà,ò.å. x ∈ F . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, x îäèí èç îáðàçóþùèõ ïîä-
ãðóïïû G(1) . Òàêèì îáðàçîì, âñå îáðàçóþùèå G(1) ëåæàò â F , à çíà÷èò è
G(1) ⊆ F . Îòñþäà (èëè àíàëîãè÷íî) ñëåäóåò è àáåëåâîñòü. 
    Çàìå÷àíèå 2. Ðÿä êîììóòàíòîâ G = G(0) ⊇ G(1) ⊇ G(2) ⊇ · · · ⊇ G(s) ,
ãäå G(i+1)  êîììóòàíò G(i) , i = 0, ..., s − 1, ìîæåò íà íåêîòîðîì s ñòàáèëè-
çèðîâàòüñÿ åñëè ãðóïïà êîíå÷íà, òî ýòî ïðîèçîéäåò îáåçàòåëüíî), ò.å. áóäåì
èìåòü G(s+1) = G(s) (à çíà÷èò è G(s+i) = G(s) äëÿ ëþáîãî i > 0). Åñëè ïðè
ýòîì G(s) = 1, òî ðÿä êîììóòàíòîâ áóäåò íîðìàëüíûì, âñå ôàêòîðû êîòîðî-
ãî àáåëåâû. Åñëè G(s) 6= 1, òî, äîáàâèâ â êîíöå 1 îïÿòü ïîëó÷èì íîðìàëüíûé
ðÿä, âñå ôàêòîðû êîòîðîãî, êðîìå ïîñëåäíåãî, òîæå àáåëåâû.
    Ïðåäëîæåíèå 3. Ïóñòü G  ãðóïïà. Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðàâíî-
ñèëüíû:
    (1) âñå ôàêòîðû êîìïîçèöèîííîãî ðÿäà G ïðîñòûå àáåëåâû ãðóïïû,
    (2) ñóùåñòâóåò Â G íîðìàëüíûé ðÿä, âñå ôàêòîðû êîòîðîãî àáåëåâû,
    (3) ñóùåñòâóåò òàêîå s, ÷òî G(s) = 1.
    Äîêàçàòåëüñòâî. (2) → (1). Åñëè G/H  àáåëåâà ãðóïïà, íî íå ïðîñòàÿ, òî
îíà èìååò ñîáñòâåííóþ íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó F/H è G ⊃ F ⊃ H  îòðåçîê
íîðìàëüíîãî ðÿäà. Ïîýòîìó óïëîòíåíèå ïðîèçâîëüíîãî íîðìàëüíîãî ðÿäà
äî êîìïîçèöèîííîãî âñåãäà èìååò âñå ôàêòîðû ïðîñòûå àáåëåâû. (Îáðàòíîå
î÷åâèäíî, ò.ê. êîìïîçèöèîííûé ðÿä åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé íîðìàëüíîãî.)
    (3) → (2) Åñëè G(s) = 1 äëÿ íåêîòîðîãî s, òî ðÿä êîììóòàíòîâ ÿâëÿåòñÿ
íîðìàëüíûì.
    (1) → (3) Ïóñòü ðÿä êîììóòàíòîâ îáðûâàåòñÿ íà G(s) (ò.å. G(s) = G(s+1) )
è G(s) 6= 1. Äîáàâèâ ê íåìó 1, ïîëó÷èì íîðìàëüíûé ðÿä. Óïëîòíèì åãî äî
êîìïîçèöèîííîãî. Òîãäà êîíå÷íûé îòðåçîê ïîëó÷åííîãî êîìïîçèöèîííîãî
ðÿäà áóäåò èìåòü âèä: G(s) ⊃ H1 ⊃ · · · ⊃ 1, ãäå H1  ñîáñòâåííàÿ íîðìàëü-
íàÿ ïîäãðóïïà â G(s) òàêàÿ, ÷òî G(s) /H1 àáåëåâà. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïî-
ëîæåíèþ G(s) = G(s+1) , ò.ê. ïî ëåììå 11 äîëæíû èìåòü G(s) ⊃ H1 ⊇ G(s+1) .

    Ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé, åñëè äëÿ íåå âûïîëíåíî îäíî èç óñëîâèé
ïðåäëîæåíèÿ 3.
                       5. Òåîðåìà ðàçðåøèìîñòè

   Ïóñòü f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +· · ·+an−1 x+an  íåïðèâîäèìûé íàä ïîëåì
K ìíîãî÷ëåí, α1 , ..., αn  åãî (ðàçëè÷íûå) êîðíè è F = K(α1 , ..., αn )  åãî
(ìèíèìàëüíîå) ïîëå ðàçëîæåíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óðàâíåíèå f (x) = 0
ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ íàä K , åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ïðîñòûõ öèêëè÷åñêèõ ðàñøèðåíèé
                       K = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Km = R,                       (1)

òàêàÿ, ÷òî F ⊆ R. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Ki = Ki−1 (γi ), ãäå γi  êîðåíü íåïðè-
âîäèìîãî íàä Ki−1 ìíîãî÷ëåíà hi (x) = xp − ci , â êîòîðîì ci ∈ Ki−1 è pi 
                                           i




                                      9

Страницы