Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K(α
1
, ..., α
n
)
f(x)
K
F G F
a
a
−1
Ga
F G F
a
a
−1
Ga
[G] g
G ⊆ S
n
a
1
, ..., a
s
G
G(z) = G(z, x
1
, ..., x
n
) = (z −g
a
1
) ···(z −g
a
s
)
[G]
G(z) = (z − g
a
1
) ···(z − g
a
s
) G ∈ [G]
g
G(z) x
1
, ..., x
n
G
a
(z) = G(z)
a ∈ S
n
G
a
(z) = (z − g
a
1
)
a
···(z − g
a
s
)
a
= (z − g
a
1
a
) ···(z −
g
a
s
a
) a
1
, ..., a
s
G a
1
a, ..., a
s
a
a
i
a(a
j
)
−1
= a
i
a
−1
j
G
a
(z) = G(z)
G(z) = z
s
−σ
1
z
s−1
+···+(−1)
s
σ
s
σ
k
g
a
1
, ..., g
a
s
a ∈ S
n
σ
k
x
1
, ..., x
n
K f(x) = a
0
x
n
+a
1
x
n−1
+
··· + a
n
K α
1
, ..., α
n
G S
n
G(z) = G(z, x
1
, ..., x
n
)
[G] G
0
(z) = G(z, α
1
, ..., α
n
) G
0
(z)
K
G(f) ⊆ G ⇒ ∃γ ∈ K : G
0
(γ) = 0
f K G
i
∈ [G] G
0
(z)
K
G
0
(z) = (z −g
a
1
0
) ···(z −g
a
s
0
) g
a
i
G
i
∈ [G] = {G
1
, ..., G
s
} G(f) ⊆ G
i
g
a
i
a
= g
a
i
∀a ∈ G
i
⇒
g
a
i
b
0
= g
a
i
0
∀b ∈ G(f) ⇒ g
a
i
0
∈ K
G
0
(z) ∃γ ∈ K :
G
0
(γ) = 0 ⇒ G(f ) ⊆ G
i
∈ [G]
g
a
i
0
= β
i
∈ K ∀b ∈ G(f) : β
b
i
= β
i
; g
a
i
b
0
= g
a
i
0
=
β
i
g
a
j
0
= g
a
i
0
⇒ i = j
g
a
i
b
0
= g
a
i
0
∀b ∈ G(f) ⇒ G(f) ⊆ G
i
∈ [G] g
a
i
G
i
G
0
(z) f
K
f(x) ∈ K[x] G ⊂ S
n
[G]
G(z) G
0
(z)
g
a
0
(a ∈ S
n
) g
a
0
= g
a
(α
1
, ..., α
n
) = g(α
1a
, ..., α
na
)
ïðîäîëæàåòñÿ äî àâòîìîðôèçìà ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ K(α1 , ..., αn ) ìíîãî÷ëå-
íà f (x). Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ïîäñòàíîâîê îáðàçóåò ãðóïïó Ãàëóà ýòîãî
ìíîãî÷ëåíà (íàä K ).
      Çàâèñèìîñòü ãðóïïû Ãàëóà îò ïîðÿäêà êîðíåé.
      Ëåììà 2. Åñëè F èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî G, òî F a èíâàðèàíòåí îò-
íîñèòåëüíî a−1 Ga.
      Ëåììà 3. Åñëè F îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî F a îïðåäåëÿþùèé äëÿ a−1 Ga.
      Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ [G]. Ïóñòü g  îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí
äëÿ G ⊆ Sn è a1 , ..., as  ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ G, òîãäà ìíîãî-
÷ëåí G(z) = G(z, x1 , ..., xn ) = (z −ga ) · · · (z −ga ) íàçûâàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì
                                                1                    s

ìíîãî÷ëåíîì äëÿ [G].
      Ëåììà 4. G(z) = (z − ga ) · · · (z − ga ) íå çàâèñèò îò G ∈ [G], íî çàâèñèò
                                      1                  s

îò g.
      Ëåììà 5. Êîýôôèöèåíòû G(z)  ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îò x1 , ..., xn .
      Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî G a (z) = G(z) äëÿ ëþáîé ïîä-
ñòàíîâêè a ∈ Sn . Èìååì G a (z) = (z − ga )a · · · (z − ga )a = (z − ga a ) · · · (z −
                                                         1                       s                                1

g a a ). Ïîñêîëüêó a1 , ..., as  ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé (ïðàâûõ êëàññîâ
    s

ñìåæíîñòè ïî G−1), òî è a1 a, ..., as a  òîæå ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé (ò.ê.
ai a(aj )−1 = ai aj ). Îòñþäà G a (z) = G(z).
      Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ G(z) = zs −σ1 zs−1 +· · ·+(−1)s σs ,
ãäå σk  ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò ga , ..., ga , à ò.ê. ïîä                  1               s

äåéñòâèåì a ∈ Sn ýòè ôóíêöèè ïåðåñòàâëÿþòñÿ, òî σk  ñèììåòðè÷åñêèå
ìíîãî÷ëåíû è îò x1 , ..., xn . 
      Âû÷èñëåíèå ãðóïïû Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà íàä K . Ïóñòü f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +
· · · + an  ìíîãî÷ëåí íàä K áåç êðàòíûõ êîðíåé, α1 , ..., αn  åãî êîðíè.
G  íåêîòîðàÿ ïîäãðóïïà â Sn è G(z) = G(z, x1 , ..., xn )  îïðåäåëÿþùèé
ìíîãî÷ëåí äëÿ [G]. Ïîëîæèì G0 (z) = G(z, α1 , ..., αn ).  ñèëó ëåììû 5 G0 (z)
 ìíîãî÷ëåí íàä K .
      Ïðåäëîæåíèå 2. G(f ) ⊆ G ⇒ ∃ γ ∈ K : G0 (γ) = 0. (Åñëè ãðóïïà
Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà f (íàä K ) ñîäåðæèòñÿ â Gi ∈ [G], òî G0 (z) èìååò êîðåíü
â K ).
      Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì G0 (z) = (z − g0a ) · · · (z − g0a ), ãäå ga  îïðåäåëÿ-
                                                             1                   s                    i

þùèé     äëÿ Gi ∈ [G] = {G1 , ..., Gs }; åñëè G(f ) ⊆ Gi , òî g a a = g a ∀ a ∈ Gi ⇒      i               i

g0 = g0 ∀ b ∈ G(f ) ⇒ g0a ∈ K 1 . 
  a b
    i     a   i                      i


      Ïðåäëîæåíèå 3. Ïóñòü G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé è ∃ γ ∈ K :
G0 (γ) = 0 ⇒ G(f ) ⊆ Gi ∈ [G].
      Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g0a = βi ∈ K . ∀ b ∈ G(fa) : βib =a βi ; g0a b = g0a =
                                           i                                                                      i   i


βi . Òàê êàê íåò êðàòíûõ êîðíåé, òî ýòî âëå÷åò g0 = g0 ⇒ i = j , ò.å.        j                    i


g0a b = g0a ∀b ∈ G(f ) ⇒ G(f ) ⊆ Gi ∈ [G], ò.ê. g a  îïðåäåëÿþùèé äëÿ Gi
    i         i                                                          i


        Ïîñòðîåíèå   G0 (z)   áåç êðàòíûõ êîðíåé (äëÿ äàííîãî                        f)
        Ïðåäëîæåíèå 4. ñëó÷àå, êîãäà ïîëÿ K áåñêîíå÷íî, äëÿ äàííûõ ìíî-
ãî÷ëåíà f (x) ∈ K[x] è ãðóïïû G ⊂ Sn ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé äëÿ [G]
ìíîãî÷ëåí G(z) òàêîé, ÷òî G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé.
    1 Çäåñü   è íèæå ïîä   g0a (a ∈ Sn )   ìû ïîíèìàåì       g0a = g a (α1 , ..., αn ) = g(α1a , ..., αna ).



                                                    15

Страницы