ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
s(α
i
)v(α
i
) w(x) = s(x)v(x)
n − 1 f(x) : w(x) = q(x)f(x) +
r(x) w(α
i
) = r(α
i
) r(x)
< n = deg f(x)
f = f(x) n y = y(x) = c
0
+ c
1
x + ···+
c
n−1
x
n−1
g = g(x)
f(x) y(x) K
f y
g(x) h = h(x) K
h h f h(x) = q(x)f(x)+h(x)
deg h < n h = h h(α
i
) = h(α
i
)
α
i
f
g(y) f(x)
y f(x) y, y
2
, ..., y
n
y
k−1
y = y f(x) y
k
y
k
(α
i
) = y
k
(α
i
) =
β
k
i
, i = 1, ..., n s
k
(β
i
) = β
k
1
+ ··· +
β
k
n
, k = 1, ..., n
σ
k
(β
i
)
b
k
= (−1)
k
σ
k
(β
i
), k = 1, ..., n
g(y) = y
n
+ b
1
y
n−1
+ ···+ b
n
g(y) =
n
P
i=1
(y −β
i
)
b
k
∈ K
y = y = c
00
+ c
01
x + ··· + c
0,n−1
x
n−1
y
1
= yx = c
10
+ c
11
x + ··· + c
1,n−1
x
n−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
n−1
= yx
n−1
= c
n−1,0
+ c
n−1,1
x + ··· + c
n−1,n−1
x
n−1
(5)
C = (c
ij
), i, j = 0, ..., n − 1
C
g(y) = det (C − yE) (E ). (6)
y
k
(α
i
) = β
i
α
k
i
k = 0, ..., n−
1 i = 1, ..., n k = 0
β
i
y
k
y
k
= y
k−1
x, k = 1, ..., n − 1
y
k
(α
i
) = y
k−1
(α
i
)α
i
k
(c
00
− y)z
0
+ c
01
z
1
+ ··· + c
0,n−1
z
n−1
= 0
c
10
z
0
+ (c
11
− y)z
1
+ ··· + c
1,n−1
z
n−1
= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
n−1,0
z
0
+ c
n−1,1
z
1
+ ··· + (c
n−1,n−1
− y)z
n−1
= 0
(7)
s(αi )v(αi ). Îäíàêî, ìíîãî÷ëåí w(x) = s(x)v(x) ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëüøåé
ñòåïåíè ÷åì n − 1.  ýòîì ñëó÷àå ïîäåëèì åãî íà f (x) : w(x) = q(x)f (x) +
r(x). Òàê êàê w(αi ) = r(αi ), òî r(x) èñêîìûé ìíîãî÷ëåí.
Ýòî ïîçâîëÿåò îãðàíè÷èòñÿ ðàññìîòðåíèåì ïðåîáðàçîâàíèé ×èðíãàóçå-
íà, îñóùåñòâëÿåìûõ òîëüêî ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè < n = deg f (x).
Íèæå f = f (x) èñõîäíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n, y = y(x) = c0 + c1 x + · · · +
cn−1 xn−1 öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ è g = g(x) ìíîãî÷ëåí, ïîëó-
÷åííûé èç f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì ×èðíãàóçåíà ñ ïîìîùüþ y(x), K ïîëå
êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíîâ f è y.
Ïîñòðîåíèå g(x). Ïóñòü h = h(x) ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä K .
Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç h îñòàòîê îò äåëåíèÿ h íà f : h(x) = q(x)f (x) + h(x).
Îòìåòèì, ÷òî åñëè deg h < n, òî h = h, è ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå h(αi ) = h(αi )
äëÿ êàæäîãî êîðíÿ αi ìíîãî÷ëåíà f .
Ðàññìîòðèì äâà ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëåíà g(y) äëÿ äàííîãî f (x).
1) Íàéäåì ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà y ïî ìîäóëþ f (x): y, y2 , ..., yn (ò.å. ìíî-
ãî÷ëåí yk−1 óìíîæàåì íà y = y, ðåçóëüòàò äåëèì íà f (x) è â êà÷åñòâå yk
áåðåì îñòàòîê îò ýòîãî äåëåíèÿ). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî yk (αi ) = yk (αi ) =
βik , i = 1, ..., n). Ýòî ïîçâîëÿåò íàéòè ñòåïåííûå ñóììû sk (βi ) = β1k + · · · +
βnk , k = 1, ..., n. Çàòåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Íüþòîíà íàõîäèì ýëåìåíòàð-
íûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû σk (βi ).  ñèëó ôîðìóë Âüåòà áóäåì èìåòü
bk = (−1)k σk (βi ), k = 1, ..., n.
Çàìå÷àíèå. Òî, ÷òî ïîëó÷åííûé ìíîãî÷ëåí g(y) = y n + b1 y n−1 + · · · + bn
ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì g(y) = P (y − βi ) ÿñíî èç ïîñòðîåíèÿ, êîòîðîå â ÷àñòíî-
n
ñòè ïîêàçûâàåò, ÷òî âñå bk ∈ K .
i=1
2) Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ:
y = y = c00 + c01 x + · · · + c0,n−1 xn−1
n−1
y = yx = c + c x + · · · + c
1 10 11 1,n−1 x
(5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn−1 = yx n−1 = cn−1,0 + cn−1,1 x + · · · + cn−1,n−1 xn−1
è îáîçíà÷èì ÷åðåç C = (cij ), i, j = 0, ..., n − 1 ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ
ýòîé ñèñòåìû. Òîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû C ÿâëÿåòñÿ
èñêîìûì ìíîãî÷ëåíîì:
g(y) = det (C − yE) (E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà). (6)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî yk (αi ) = βi αik äëÿ ëþáûõ k = 0, ..., n−
1 è i = 1, ..., n. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè k = 0 ýòî ðàâåíñòâî âåðíî ïî îïðåäåëå-
íèþ βi . À ïî îïðåäåëåíèþ yk èìååì yk = yk−1 x, k = 1, ..., n − 1 è çíà÷èò
yk (αi ) = yk−1 (αi )αi , ò.å. íàøå óòâåðæäåíèå ïîëó÷àåòñÿ èíäóêöèåé ïî k . Ïî-
ýòîìó ñèñòåìà ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé
(c00 − y)z0 + c01 z1 + · · · + c0,n−1 zn−1 = 0
c10 z0 + (c11 − y)z1 + · · · + c1,n−1 zn−1 = 0
(7)
..............................
cn−1,0 z0 + cn−1,1 z1 + · · · + (cn−1,n−1 − y)zn−1 = 0
34
