ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
z
0
, z
1
, ..., z
n−1
y = β
i
(z
0
, z
1
, ..., z
n−1
) = (1, α
i
, α
2
i
, ..., α
n−1
i
).
C y = β
i
y = β
i
C
f(x) = x
3
− 2x + 3, y = 1 − x + x
2
S
k
, Σ
k
β
i
s
k
, σ
k
α
i
β
i
y = y = 1 − x + x
2
, y
2
=
7 −9x + 5x
2
, y
3
= 49 −59x + 31x
2
S
1
= 3 −s
1
+ s
2
, S
2
= 21 −9s
1
+
5s
2
, S
3
= 147 − 59s
1
+ 31s
2
σ
1
= 0, σ
2
= −2, σ
3
= −3
s
1
= 0, s
2
= 4 S
1
= 7, S
2
= 41, S
3
= 271 ⇒
Σ
1
= 7, Σ
2
= 4, Σ
3
= 4 g(y) = y
3
− 7y
2
+ 4y − 4
y = 1 − x + x
2
, xy = −3 + 3x − x
2
, xy
2
= 3 − 5x + 3x
2
(1, x, x
2
)
1 − y −1 1
−3 3 − y −1
3 −5 3 − y
= −y
3
+ 7y
2
− 4y + 4 = 0
y = β
i
g(y)
K
x = b
0
+ b
1
y + b
2
y
2
g(y) f(x)
x =
1
2
+
5
4
y −
1
4
y
2
g(x) f(x)
f g G(f)
∼
=
G(g)
F = K(α
1
, ..., α
n
)
f(x) K y = ϕ(x)
α
i
f(x) β
i
= ϕ(α
i
) F
F
0
g(y) F
g(y) h(x)
F
00
F
0
F
00
⊆ F
0
⊆ F
F
0
= F
y
i
=
n−1
P
j=0
a
ij
x
j
f(x) y(x)
îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ z0 , z1 , ..., zn−1 ïðè y = βi èìååò íåíóëåâîå ðåøå-
íèå 2 n−1
(z0 , z1 , ..., zn−1 ) = (1, αi , αi , ..., αi ).
Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû, êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ìàòðèöû C , ïðè y = βi ðàâåí 0, ò.å. êàæäîå y = βi
ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êîðíåì ìàòðèöû C (ò.å. êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
(6)).
Ïðèìåð. Ïóñòü f (x) = x3 − 2x + 3, y = 1 − x + x2 .
1) Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sk , Σk ñòåïåííûå è ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå
ìíîãî÷ëåíû îò βi , à ÷åðåç sk , σk ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîãî÷ëåíû îò αi . Íàéäåì
ñíà÷àëà ñòåïåííûå ñóììû äëÿ âåëè÷èí βi . Èìååì y = y = 1 − x + x2 , y2 =
7 − 9x + 5x2 , y 3 = 49 − 59x + 31x2 . Ïîýòîìó S1 = 3 − s1 + s2 , S2 = 21 − 9s1 +
5s2 , S3 = 147 − 59s1 + 31s2 ; çàòåì, ò.ê. σ1 = 0, σ2 = −2, σ3 = −3, òî (ïî
ôîðìóëàì Íüþòîíà) s1 = 0, s2 = 4; îòñþäà S1 = 7, S2 = 41, S3 = 271 ⇒
Σ1 = 7, Σ2 = 4, Σ3 = 4. Ñëåäîâàòåëüíî, g(y) = y 3 − 7y 2 + 4y − 4.
2) Èìååì y = 1 − x + x2 , xy = −3 + 3x − x2 , xy2 = 3 − 5x + 3x2 . Òàê
êàê ýòà ñèñòåìà äîëæíà èìåòü ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî (1, x, x2 ), òî äîëæíî
èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî
1−y −1 1
−3 3−y −1 = −y 3 + 7y 2 − 4y + 4 = 0
3 −5 3−y
äëÿ y = βi . Ïîëó÷åííûé ìíîãî÷ëåí ñîâïàäàåò ñ g(y) (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíî-
æèòåëÿ èç K ).
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà. Ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà íà-
çûâàåòñÿ îáðàòèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå x = b0 + b1 y + b2 y2
òàêîå, ÷òî ïåðåâîäèò g(y) îáðàòíî â f (x).
 ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ïðåîáðàçîâàíèå îáðàòèìî, ò.ê. ïðåîáðàçîâà-
íèå x = 21 + 54 y − 14 y2 ïåðåâîäèò g(x) â f (x).
Ïðåäëîæåíèå 20. Åñëè ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà îáðàòèìî, òî ãðóï-
ïû Ãàëóà ìíîãî÷ëåíîâ f è g èçîìîðôíû (G(f ) ∼= G(g)).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F = K(α1 , ..., αn ) ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëå-
íà f (x). Äëÿ ëþáîé ðàöèîíàëüíîé íàä K ôóíêöèè y = ϕ(x), îïðåäåëåííîé
íà âñåõ êîðíÿõ αi ìíîãî÷ëåíà f (x), ýëåìåíòû βi = ϕ(αi ) ëåæàò â F . Òî
åñòü ïîëå ðàçëîæåíèÿ F 0 ìíîãî÷ëåíà g(y) ëåæèò â F . Âñÿêîå ïðåîáðàçîâà-
íèå ×èðíãàóçåíà g(y) â ñâîþ î÷åðåäü äàñò ìíîãî÷ëåí h(x), ïîëå ðàçëîæå-
íèÿ F 00 êîòîðîãî ëåæèò â F 0 , ò.å. èìååì F 00 ⊆ F 0 ⊆ F . Îòñþäà ÿñíî, ÷òî
äëÿ òîãî ÷òîáû ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà áûëî îáðàòèìî íåîáõîäèìî è
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èìåëî ìåñòî ðàâåíñòâî: F 0 = F . À òàê êàê ãðóïïà Ãà-
ëóà ìíîãî÷ëåíà ñîâïàäàåò ñ ãðóïïîé Ãàëóà åãî ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ, òî îòñþäà
íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ïðåäëîæåíèÿ.
Îòìåòèì îäèí êðèòåðèé îáðàòèìîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ×èðíãàóçåíà
Ëåììà 2. Ïóñòü y i = aij xj ; òîãäà ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà
n−1
P
j=0
ìíîãî÷ëåíà f (x) ñ ïîìîùüþ y(x) îáðàòèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
35
