Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

h
c
= h
a
i
c ∈ A
5
h
c
= −h
a
i
c ∈ A
5
H(t) = t
6
+ b
1
t
5
+ ··· + b
5
t + b
6
b
2
, b
4
, b
6
b
a
2i
= b
2i
∀a ∈ S
5
b
1
, b
3
, b
5
b
a
2i+1
= b
2i+1
∀a ∈ A
5
b
c
2i+1
= −b
2i+1
∀c ∈ A
5
H h
a
i
b
k
h
a
i
, i = 1, ..., 6
k
F = F (x
1
, ..., x
n
)
F = W S W =
Q
n≥i>j≥1
(x
i
− x
j
)
S = S(x
1
, ..., x
n
)
ϕ(x, y) ∈ K[x, y]
ϕ(x, y) = −ϕ(y, x) ϕ(x, x) =
0 ϕ(x, y) x−y ϕ(x, y) = (x−
y)ψ(x, y) ψ ∈ K[x, y] ϕ(x, x) = A
ϕ(x, y) = −ϕ(y, x) A = −A A = 0
ϕ(x, y) ϕ(x, y) = A
0
(x)y
m
+A
1
(x)y
m−1
+···+A
m−1
(x)y+
A
m
(x) A
k
(x) ∈ K[x] ϕ(x, x) = 0 x
y y − x
F
x
i
x
j
i 6= j x
i
−x
j
W F = W S F W
a ∈ S
n
S = F/W
H(t) = t
6
+b
2
t
4
+b
4
t
2
+cW t+b
6
c ∈ K b
2i
2i
x
1
, ..., x
5
b
2i+1
= W c
2i+1
i = 0, 1, 2 deg h = 2 deg b
k
= 2k deg b
1
= 2, deg b
3
=
6, deg b
5
= 10 deg W = 10 c
1
=
c
3
= 0 deg c
5
= 0 c
5
= c ∈ K
[B
0
5
]
G(z) = (z
3
+ b
2
z
2
+ b
4
z + b
6
)
2
− Dc
2
z,
D = W
2
f(x) b
2
, b
4
, b
6
x
1
, ..., x
5
f(x)
c ∈ K
f(x) = x
5
+ px + q
[B
0
5
]
G(z) = (z
3
− 20pz
2
+ 240p
2
z + 320p
3
)
2
− 1024Dz, D = 4
4
p
5
+ 5
5
q
4
. (3)
Îòñþäà hc = ha , åñëè c ∈ A5 , è hc = −ha , åñëè c ∈ A5 â ñèëó ëåììû 3. 
                 i                          i

     Ñëåäñòâèå 5. Ïóñòü H(t) = t6 + b1 t5 + · · · + b5 t + b6 ; òîãäà b2 , b4 , b6
 ñèììåòðè÷åñêèå (ba2i = b2i ∀a ∈ S5 ), à b1 , b3 , b5  êîñîñèììåòðè÷åñêèå
ìíîãî÷ëåíû (ò.å. ba2i+1 = b2i+1 ∀a ∈ A5 è bc2i+1 = −b2i+1 ∀c ∈ A5 ).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ëåììû 4, ò.ê. ïî îïðå-
äåëåíèþ H ìíîãî÷ëåíû ha ÿâëÿþòñÿ åãî êîðíÿìè è ïî ôîðìóëàì Âüåòà
                             i

êàæäûé êîýôôèöèåíò bk åñòü ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îò ha , i = 1, ..., 6,
                                                                    i

ñòåïåíè k. 
     Ëåììà 5. Âñÿêèé êîñîñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí F = F (x1 , ..., xn ) åñòü
ïðîèçâåäåíèå F = W S , ãäå W = Q (xi − xj )  îïðåäåëèòåëü Âàíäåð-
                                     n≥i>j≥1
ìîíäà, à S = S(x1 , ..., xn )  ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìíîãî÷ëåí îò äâóõ ïåðåìåííûõ ϕ(x, y) ∈ K[x, y]
ìåíÿåò çíàê ïðè òðàíñïîçèöèè ïåðåìåííûõ (ϕ(x, y) = −ϕ(y, x)), òî ϕ(x, x) =
0, è ñëåäîâàòåëüíî, ϕ(x, y) äåëèòñÿ íà ëèíåéíûé äâó÷ëåí x−y : ϕ(x, y) = (x−
y)ψ(x, y) ãäå ψ ∈ K[x, y]. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ϕ(x, x) = A, òî èç ðàâåíñòâà
ϕ(x, y) = −ϕ(y, x) èìååì A = −A, ò.å. A = 0.
     Çàïèøåì ϕ(x, y) â âèäå ϕ(x, y) = A0 (x)ym +A1 (x)ym−1 +· · ·+Am−1 (x)y +
Am (x), ãäå Ak (x) ∈ K[x]. Ðàâåíñòâî ϕ(x, x) = 0 îçíà÷àåò, ÷òî x  êîðåíü
ýòîãî ìíîãî÷ëåíà (îòíîñèòåëüíî y), à ïîòîìó îí äåëèòñÿ íà y − x.
     Òàê êàê ìíîãî÷ëåí F ìåíÿåò çíàê ïðè òðàíñïîçèöèè ëþáûõ äâóõ ïåðå-
ìåííûõ xi è xj (i 6= j ), òî îí äîëæåí äåëèòüñÿ íà êàæäûé äâó÷ëåí xi − xj , à
ñëåäîâàòåëüíî, íà W : F = W S . Îáà ìíîãî÷ëåíà F è W êîñîñèììåòðè÷íû,
ò.å. îäíîâðåìåííî ìåíÿþò çíàê èëè íåò (ïîä äåéñòâèåì a ∈ Sn , òî S = F/W
 ìíîãî÷ëåí ñèììåòðè÷åñêèé. 
     Ñëåäñòâèå 6. H(t) = t6 +b2 t4 +b4 t2 +cW t+b6 , ãäå c ∈ K , à b2i  îäíîðîä-
íûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè 2i (ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ
x1 , ..., x5 ).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 5 ëåììû 5 èìååì b2i+1 = W c2i+1 äëÿ
i = 0, 1, 2. Òàê êàê deg h = 2, òî deg bk = 2k , â ÷àñòíîñòè, deg b1 = 2, deg b3 =
6, deg b5 = 10. Ïîñêîëüêó deg W = 10, òî ýòî âîçìîæíî, òîëüêî ïðè c1 =
c3 = 0 è deg c5 = 0 (ò.å. c5 = c ∈ K ). 
     Èç ëåììû 1 è ñëåäñòâèÿ 6 íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì
     Ïðåäëîæåíèå 17. Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí êëàññà ñîïðÿæåííîñòè
[B50 ] èìååò âèä
                                3      2             2     2
                     G(z) = (z + b2 z + b4 z + b6 ) − Dc z,
ãäå D = W  äèñêðèìèíàíò ìíîãî÷ëåíà f (x), b2 , b4 , b6  îäíîðîäíûå
             2

ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò êîðíåé x1 , ..., x5 ìíîãî÷ëåíà f (x) ñòåïåíåé
4, 8, 12 ñîîòâåòñòâåííî (ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ) è c ∈ K .
     Ñëó÷àé íîðìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè 5. Ïîä íîðìàëüíûì ìíîãî÷ëå-
íîì (íîðìàëüíîãî âèäà) ïîíèìàåòñÿ f (x) = x5 + px + q.
     Ïðåäëîæåíèå 18. Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí êëàññà ñîïðÿæåííîñòè
[B50 ] è äèñêðèìèíàíò â ñëó÷àå íîðìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà èìåþò âèä

  G(z) = (z 3 − 20pz 2 + 240p2 z + 320p3 )2 − 1024Dz,      D = 44 p5 + 55 q 4 . (3)


                                       32

Страницы