Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

S
5
[C
5
], [B
5
], [B
0
5
], [A
5
], [S
5
]
C
5
C B
5
C B
0
5
B
5
C
B
0
5
s
−1
c
i
t
j
s = s
−1
c
i
st
j
∈ B
5
s t
s
−1
c
i
s ∈ C
5
f(x) = x
5
+ a
1
x
4
+ ···a
5
= 0
G(f)
B
0
5
C
5
: (x
1
+ εx
2
+ ε
2
x
3
+ ε
3
x
4
+ ε
4
x
5
)
5
, ε
5
= 1, ε 6= 1
B
5
: u = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
+ x
5
x
1
v = x
1
x
3
+ x
3
x
5
+ x
5
x
2
+
x
2
x
4
+ x
4
x
1
B
0
5
: (u − v)
2
a
1
= (1), a
2
= (123), a
3
= (234), a
4
= (345), a
5
= (145), a
6
=
(125)
S
5
B
0
5
[B
0
5
]
B
0
5
g = g(x
1
, ..., x
5
) = h
2
h = u − v
G(t
2
) = H(t)H(−t) H(t) =
6
Q
i=1
(t − h
a
i
)
G(t
2
) =
6
Q
i=1
(t
2
− (h
a
i
)
2
)
6
Q
i=1
(t − h
a
i
)
6
Q
i=1
(t + h
a
i
) =
H(t)H(−t)
h B
5
a /∈ B
5
h
a
= h h
a
= u
a
− v
a
σ
a
2
= u
a
+ v
a
σ
2
a ∈ S
5
2u
a
= h
a
+ σ
a
2
= h + σ
2
= 2u u
B
5
a ∈ B
5
a ∈ B
0
5
\ B
5
h
a
= −h
(h
2
)
a
−h
2
= (h
a
)
2
−h
2
= (h
a
−h)(h
a
+h) = 0
a ∈ B
0
5
h
a
− h = 0
a ∈ B
5
a ∈ B
0
5
\ B
5
a ∈ A
5
h
a
= h
a
i
b ∈ S
5
\A
5
h
b
= −h
a
i
i = 1, ..., 6
a = (12)
a = (ij), i 6= j
B
0
5
= B
5
∪
B
5
B
5
B
5
⊂ A
5
B
5
B
5
⊂ A
5
S
5
=
6
S
i=1
(A
5
∪A
5
)
a
i
=
6
S
i=1
(A
a
i
5
∪A
a
i
5
) a
i
c ∈ A
5
c = aa
i
a ∈ B
5
c ∈ A
5
c = ba
i
b ∈ B
5
    Ïðåäëîæåíèå 16. Â S5 èìååòñÿ 5 êëàññîâ ñîïðÿæåííîñòè òðàíçèòèâ-
íûõ ïîäãðóïï, à èìåííî, [C5 ], [B5 ], [B50 ], [A5 ], [S5 ], èç êîòîðûõ ïåðâûå òðè
ñîäåðæàò ðàçðåøèìûå ãðóïïû.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ñëåäñòâèé 1, 2 è 3. Äëÿ
ïðîâåðêè âòîðîãî îòìåòèì, ÷òî C5 C B5 C B50  êîìïîçèöèîííûé ðÿä, âñå
ôàêòîðû êîòîðîãî èìåþò ïîðÿäîê 2 è ïîòîìó àáåëåâû. Íîðìàëüíîñòü B5 C
B50 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî s−1 ci tj s = s−1 ci stj ∈ B5 , ò.ê. s è t ïåðåñòàíîâî÷íû
è s−1 ci s ∈ C5 . 
    Ñëåäñòâèå 4. Íåïðèâîäèìîå óðàâíåíèå f (x) = x5 + a1 x4 + · · · a5 = 0
ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ãðóïïà Ãàëóà G(f )
ñîïðÿæåíà ñ ïîäãðóïïîé â B50 .
    Îïðåäåëÿþùèå ìíîãî÷ëåíû äëÿ ðàçðåøèìûõ ãðóïï:
    C5 : (x1 + εx2 + ε2 x3 + ε3 x4 + ε4 x5 )5 , ε5 = 1, ε 6= 1.
    B5 : u = x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 + x5 x1 èëè v = x1 x3 + x3 x5 + x5 x2 +
x2 x4 + x4 x1 .
    B50 : (u − v)2 .
    Ïîäñòàíîâêè a1 = (1), a2 = (123), a3 = (234), a4 = (345), a5 = (145), a6 =
(125) îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó ïðåäñòàâèòåëåé ïðàâûõ êëàññîâ ñìåæíîñòè
S5 ïî B50 .
    Îïðåäåëÿþùåå óðàâíåíèå êëàññà [B50 ]. Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí ãðóïïû
B5 çàïèøåì â âèäå g = g(x1 , ..., x5 ) = h2 , ãäå h = u − v
  0


    Ëåììà 1. G(t2 ) = H(t)H(−t), ãäå H(t) =           (t − ha ).
                                                    6
                                                    Q          i

                                                 i=1

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì G(t2 ) = Q (t2 − (ha )2 ) Q (t − ha ) Q (t + ha ) =
                                        6                  6           6
                                                  i                i         i



H(t)H(−t). 
                                       i=1             i=1         i=1


   Ëåììà 2. Ìíîãî÷ëåí h ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ B5 .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a ∈/ B5 è ha = h, òîãäà ha = ua − va . Òàê êàê
è σ2a = ua + va (σ2  ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí è ïîòîìó èíâàðèàíòåí
äëÿ ëþáîãî a ∈ S5 ), òî 2ua = ha + σ2a = h + σ2 = 2u. Ïîñêîëüêó u 
îïðåäåëÿþùèé äëÿ B5 , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî a ∈ B5  ïðîòèâîðå÷èå. 
   Ëåììà 3. Åñëè a ∈ B50 \ B5 , òî ha = −h.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì (h2 )a − h2 = (ha )2 − h2 = (ha − h)(ha + h) = 0 äëÿ
âñÿêîãî a ∈ B50 . Òàê êàê ïî ëåììå 2 ïåðâûé ìíîæèòåëü ha − h = 0 òîëüêî
äëÿ a ∈ B5 , òî äëÿ êàæäîãî a ∈ B50 \ B5 äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ âòîðîé
ìíîæèòåëü. 
   Ëåììà 4. Äëÿ âñÿêîãî a ∈ A5 èìååì ha = ha , à äëÿ âñÿêîãî b ∈ S5 \ A5
                                                       i

èìååì hb = −ha ñ íåêîòîðûì i = 1, ..., 6.
                 i

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü óòâåðæäåíèå äëÿ a = (12) (òîãäà
îíî áóäåò ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáîãî a = (ij), i 6= j , è ïðèìåíèòü ñîîáðà-
æåíèå ñèììåòðèè. Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî: B50 = B5 ∪ B 5 . Âñå ýëåìåíòû B5
÷åòíû (B5 ⊂ A5 ), à âñå ýëåìåíòû B 5 íå÷åòíû (B 5 ⊂ A5 ). Ýòî âëå÷åò (ò.ê.
                            (Aa5 ∪ A5 ), ãäå ai  ÷åòíî), ÷òî äëÿ âñÿêîãî c ∈ A5
       6                 6          a
                                    i
          (A5 ∪ A5 )a =
       S                 S
S5 =                 i        i

      i=1               i=1
èìååì c = aai , ãäå a ∈ B5 , à äëÿ âñÿêîãî c ∈ A5 èìååì c = bai , ãäå b ∈ B 5 .

                                        31

Страницы