Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

H ⊆ A
5
G ⊆ S
5
G = A
5
G = S
5
G
A
5
A
5
S
5
A
5
A
5
S
5
C
5
G ⊂ S
5
G
C
5
c a ∈
G c
0
= a
−1
ca c
0
∈ C
5
C
5
c
0
= a
−1
ca = c
k
k ∈ {1, ...p − 1} a
−1
C
5
a =
C
5
C
5
= hci c c
S
5
G \C
5
6= ∅ a ∈ (G \C
5
) 1a = 1
a
0
∈ (G \ C
5
) 1a
0
= k a = a
0
c
−k+1
a /∈ C
5
a C
5
C
5
G
a ∈ G \ C
5
6= ∅ B = C
5
· C
0
= {c
i
a
j
|i = 0, ..., p − 1; j = 0, ..., m − 1}
G C
0
= {e, a, a
2
, ..., a
m−1
}
a m a C
5
6⊆ C
0
B
5m
C
5
G C
0
C
5
6⊆ C
0
C
5
∩C
0
= (1) B
5m
x ∈ S
5
cx = xc
k
k = 1, 2, 3, 4,
c = (12345) 1x = 1
k = 1 x = (1) C
5
k = 2 x = s = (2354)
k = 3 x = s
3
= (2453)
k = 4 x = t = s
2
= (25)(34)
j
j j = j 1 ≤ j ≤ 5 j = j − 5
6 ≤ j ≤ 9
x =
1 2 3 4 5
1 i
2
i
3
i
4
i
5
.
÷èñëà òðàíñïîçèöèé. Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå H ⊆ A5 î÷åâèäíî, ò.ê. âñÿêèé
5-öèêë  ïîäñòàíîâêà ÷åòíàÿ. 
    Ñëåäñòâèå 2. Åñëè G ⊆ S5 ñîäåðæèò âñå öèêëè÷åñêèå 5-ãðóïïû, òî ëèáî
G = A5 , ëèáî G = S5 .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè G ñîäåðæèò âñå öèêëè÷åñêèå 5-ãðóïïû, òî îíà ñî-
äåðæèò è âñå 5-öèêëû, à ïîòîìó è ïîäàëãåáðó A5 . Òàê êàê èíäåêñ A5 ðàâåí
2, òî íå ñóùåñòâóåò â S5 ïîäãðóïïû, ñîäåðæàùåé A5 è íå ñîâïàäàþùåé ëèáî
ñ A5 , ëèáî ñ S5 . 
    Ëåììà 3. Åñëè C5  åäèíñòâåííàÿ öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà 5 ïîäãðóïïà â
G ⊂ S5 , òî îíà íîðìàëüíà â G.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü C5 ïîðîæäåíà 5-öèêëîì c. Òîãäà äëÿ ëþáîãî a ∈
G ýëåìåíò c0 = a−1 ca òîæå 5-öèêë è ïîòîìó c0 ∈ C5 (â ñèëó åäèíñòâåííîñòè
C5 ), ò.å. c0 = a−1 ca = ck äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ {1, ...p − 1}. Îòñþäà a−1 C5 a =
C5 . 
    Íèæå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî C5 = hci (ïîðîæäåíà c), ãäå c=(12345).
Òàê êàê âñå öèêëè÷åñêèå 5-ãðóïïû ñîïðÿæåíû â S5 , òî âñå ðåçóëüòàòû, ïî-
ëó÷åííûå äëÿ ýòîé êîíêðåòíîé ãðóïïû, ïåðåíîñÿòñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ öèê-
ëè÷åñêóþ ãðóïïó ïîðÿäêà 5.
    Ëåììà 4. Åñëè G \ C5 6= ∅, òî ñóùåñòâóåò a ∈ (G \ C5 ) òàêîé, ÷òî 1a = 1.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè a0 ∈ (G \ C5 ) è 1a0 = k, òî a = a0 c−k+1  íóæíûé
ýëåìåíò (a ∈/ C5 , ò.ê. èíà÷å è a ëåæàë áû â C5 ). 
    Ëåììà 5. Ïóñòü C5  åäèíñòâåííàÿ öèêëè÷åñêàÿ 5-ïîäãðóïïà â G è
a ∈ G \ C5 6= ∅, òî B = C5 · C 0 = {ci aj | i = 0, ..., p − 1; j = 0, ..., m − 1}
 ïîäãðóïïà â G, ãäå C 0 = {e, a, a2 , ..., am−1 }  öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà,
ïîðîæäåííàÿ a (m  ïîðÿäîê a). Åñëè C5 6⊆ C 0 , òî ïîðÿäîê ãðóïïû B ðàâåí
5m.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê C5  íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G, à C 0  ïîä-
ãðóïïà, òî èõ ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé. Ïðè ýòîì, åñëè C5 6⊆ C 0 ,
òî C5 ∩ C 0 = (1), ïîýòîìó ïîðÿäîê B ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïîðÿäêîâ ìíîæè-
òåëåé, ò.å. 5m. 
    Ëåììà 6. Óðàâíåíèå (îòíîñèòåëüíî x ∈ S5 )

                     cx = xck äëÿ êàæäîãî k = 1, 2, 3, 4,

ãäå c = (12345) è 1x = 1 èìååò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ:
    1) Åñëè k = 1, òî x = (1). (ëþáîé ýëåìåíò èç C5 ).
    2) Åñëè k = 2, òî x = s = (2354).
    3) Åñëè k = 3, òî x = s3 = (2453).
    4) Åñëè k = 4, òî x = t = s2 = (25)(34).
    Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç j íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé âû÷èò
÷èñëà j ïî ìîäóëþ 5 (ò.å. â íàøåì ñëó÷àå j = j , åñëè 1 ≤ j ≤ 5, è j = j − 5,
åñëè 6 ≤ j ≤ 9). Ïóñòü
                                                        
                                  1 2     3    4    5
                         x=                                  .
                                  1 i2    i3   i4   i5



                                         29

Страницы