Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f(x) (x
1
+ x
2
)(x
3
+ x
4
)
f(x)
f(y) = y
4
+ py
2
+ qy + r
y = x −
1
4
a
1
a
1
=
0, a
2
= p, a
3
= q, a
4
= r
R(z) = z
3
− pz
2
− 4rz −(q
2
− 4pr), R
1
(z) = z
3
− 2pz
2
+ (p
2
− 4r)z + q
2
.
D(f(y)) = 16p
4
r − 4p
3
q
2
− 128p
2
r
2
+ 144pq
2
r − 27q
4
+ 256r
3
.
f(x) K
√
D /∈ K, R
f
(z) K ⇒ G(f)
∼
=
S
4
C
4
√
D ∈ K, R
f
(z) K ⇒ G(f)
∼
=
A
4
√
D ∈ K, R
f
(z) K ⇒ G(f)
∼
=
B
4
√
D /∈ K, R
f
(z) K ⇒ G(f)
∼
=
B
0
4
S
5
x p
G ⊆ S
p
p (p − 2)! − x = pz
p S
p
p−1 p
c p c
2
, c
p−1
p p S
p
(p−1)! (p−1)!−(p−1)x p
G p
(p − 1)! − (p − 1)x = py y
p − 1 p
p − 1 y p > 2
S
5
S
5
S
5
x
x+5z = 6 z
x z x = 1, z = 1 x = 6, z = 0
H S
5
H = A
5
(ij)(kl) = (ikjml)(ikjlm) (ij)(ik) = (ijk) = (ikmlj)(ikjlm),
H A
5
⊆ H
A
5
 âòîðóþ êóáè÷åñêóþ ðåçîëüâåíòó f (x) (îòíîñèòåëüíî (x1 + x2 )(x3 + x4 )).
    Îáû÷íî âìåñòî ìíîãî÷ëåíà f (x) ðàññìàòðèâàåòñÿ åãî ïðèâåäåííàÿ ôîð-
ìà f (y) = y4 + py2 + qy + r, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé ïåðåìåííîãî
y = x − 41 a1 . Äëÿ òàêîãî ìíîãî÷ëåíà ðåçîëüâåíòû ïðèíèìàþò âèä (a1 =
0, a2 = p, a3 = q, a4 = r)

 R(z) = z 3 − pz 2 − 4rz − (q 2 − 4pr),    R1 (z) = z 3 − 2pz 2 + (p2 − 4r)z + q 2 .

Ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí, â ÷àñòíîñòè, óäîáåí òåì, ÷òî äèñêðèìèíàíò äëÿ
íåãî âûðàæàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ïðîùå:
        D(f (y)) = 16p4 r − 4p3 q 2 − 128p2 r2 + 144pq 2 r − 27q 4 + 256r3 .

   Òåïåðü ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå
   Ïðåäëîæåíèå 15. Ïóñòü f (x)  íåïðèâîäèìûé íàä ïîëåì K ìíîãî÷ëåí
ñòåïåíè√ 4. Òîãäà
   1) √D ∈/ K, Rf (z) íå èìååò êîðíåé â K ⇒ G(f ) ∼= S4 èëè C4 .
   2) √D ∈ K, Rf (z) íå èìååò êîðíåé â K ⇒ G(f ) ∼= A4 .
   3) √D ∈ K, Rf (z) èìååò êîðåíü â K ⇒ G(f ) ∼= B4 .
   4) D ∈/ K, Rf (z) èìååò êîðåíü â K ⇒ G(f ) ∼= B40 .
                   11. Òðàíçèòèâíûå ïîäãðóïïû â S5

   Ëåììà 1.     Åñëè x  ÷èñëî öèêëè÷åñêèõ ïîäãðóïï ïîðÿäêà p â ãðóïïå
G ⊆ Sp p (  ïðîñòîå ÷èñëî), òî (p − 2)! − x = pz.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäàÿ p-öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà â Sp ñîäåðæèò p−1 p-
öèêë (åñëè c  p-öèêë, òî c2 , cp−1  òîæå p-öèêëû). ×èñëî âñåõ p-öèêëîâ â Sp
ðàâíî (p−1)!. Ïîýòîìó (p−1)!−(p−1)x åñòü ÷èñëî âñåõ p-öèêëîâ, íå ëåæàùèõ
â G. Ïî ñëåäñòâèþ 3 ïðåäëîæåíèÿ 14 ýòî ÷èñëî äåëèòñÿ íà p è ïîòîìó
èìååì (p − 1)! − (p − 1)x = py, ãäå y  íåêîòîðîå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå
÷èñëî. Îòñþäà óòâåðæäåíèå ëåììû (ò.ê. ëåâàÿ ÷àñòü äåëèòñÿ íà p − 1, à p
íå äåëèòñÿ, òî íà p − 1 äîëæíî äåëèòñÿ y (p > 2)). 
    Ñëåäñòâèå 1. Êàæäàÿ òðàíçèòèâíàÿ ïîäãðóïïà â S5 ñîäåðæèò ëèáî
òîëüêî îäíó öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó ïîðÿäîê 5, ëèáî âñå (ò.å. 6  ÷èñëî
öèêëè÷åñêèõ 5-ïîäãðóïï â S5 ).
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ñëåäñòâèþ 2 ïðåäëîæåíèÿ 14 âñÿêàÿ òðàíçèòèâíàÿ
ãðóïïà â S5 ñîäåðæèò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó è ïî ëåììå ÷èñëî x òàêèõ
ïîäãðóïï äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó x+5z = 6, ãäå z  öåëîå íåîòðè-
öàòåëüíîå ÷èñëî. Ýòî ðàâåíñòâî òîëüêî èìååò òîëüêî äâà ðåøåíèÿ (äëÿ öå-
ëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ x è z): x = 1, z = 1 è x = 6, z = 0. 
    Ëåììà 2. Åñëè H  ïîäãðóïïà â S5 , ïîðîæäåííàÿ âñåìè 5-öèêëàìè, òî
H = A5 .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì
      (ij)(kl) = (ikjml)(ikjlm) è (ij)(ik) = (ijk) = (ikmlj)(ikjlm),

ò.å. ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ òðàíñïîçèöèé ëåæèò â H , à çíà÷èò è A5 ⊆ H ,
ò.ê. A5 ñîñòîèò èç ïîäñòàíîâîê ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ÷åòíîãî
                                          28

Страницы