Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 27 стр.

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ВУЗ: 

КФУ | Казань

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Рубрика: 

S
4
[C
4
] [B
4
] [C
2
2
]
C
4
= {(1), (1234), (13)(24), (1432)},
B
4
= {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)},
C
2
2
= {(1), (12)} × {(1), (34)} = {(1), (12), (13), (12)(34)}.
[C
4
] S
4
C
2
× C
2
G
G
C
2
2
C
2
2
[C
2
2
] G
S
4
B
4
[B
4
]
B
0
4
= B
4
∪ {(12), (34), (1423), (1324)} = B
4
· C
2
[B
0
4
]
B C
B ·C = {bc |b ∈ B, c ∈ C} B ∩C =
{e} |B ·C| = |B|·|C| B
4
C
2
S
4
[C
4
], [B
4
], [B
0
4
],
[A
4
] [S
4
]
G ⊆ S
n
F
0
= x
k
1
1
···x
k
n
n
F =
P
a∈G
F
a
0
F
a
= F a ∈ G
F G
C
4
x
1
x
1
x
2
F
0
= x
2
1
x
2
g = x
2
1
x
2
+ x
2
2
x
3
+
x
2
3
x
4
+ x
1
x
2
4
C
4
g
C
4
C
4
C
4
g
(1)
= x
2
1
x
2
+ x
2
2
x
3
+ x
2
3
x
4
+ x
1
x
2
4
, g
(14)
= x
2
4
x
2
+ x
2
2
x
3
+ x
2
3
x
1
+ x
4
x
2
1
,
g
(12)
= x
2
2
x
1
+ x
2
1
x
3
+ x
2
3
x
4
+ x
2
x
2
4
, g
(23)
= x
2
1
x
3
+ x
2
3
x
2
+ x
2
2
x
4
+ x
1
x
2
4
,
g
(13)
= x
2
3
x
2
+ x
2
2
x
1
+ x
2
1
x
4
+ x
3
x
2
4
, g
(34)
= x
2
1
x
2
+ x
2
2
x
4
+ x
2
4
x
3
+ x
1
x
2
3
.
g
   Ñëåäñòâèå 1. S4 èìååò äâà êëàññà ñîïðÿæåííûõ òðàíçèòèâíûõ ïîä-
ãðóïï, à èìåííî [C4 ] è [B4 ], è îäèí êëàññ [C22 ] íåòðàíçèòèâíûõ ïîäãðóïï
ïîðÿäêà 4. Çäåñü
            C4 = {(1), (1234), (13)(24), (1432)},
            B4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)},
            C22 = {(1), (12)} × {(1), (34)} = {(1), (12), (13), (12)(34)}.

     Äîêàçàòåëüñòâî. Âñÿêèé öèêë äëèíû 4 ïîðîæäàåò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóï-
ïó ïîðÿäêà 4. Â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 13 âñå òàêèå ïîäãðóïïû ñîïðÿæåíû è
ñîñòàâëÿþò êëàññ [C4 ]. Íàéäåì ïîäãðóïïû â S4 èçîìîðôíûå C2 × C2 . Â
òàêîé ïîäãðóïïå G âñå ýëåìåíòû îòëè÷íûå îò åäèíèöû èìåþò ïîðÿäîê 2,
ò.å. ñîïðÿæåíû ëèáî ñ (12), ëèáî ñ (12)(34). Åñëè G ñîäåðæèò ïîäñòàíîâêó
(12), òî îíà ìîæåò ñîäåðæàòü åùå òîëüêî (34) è (12)(34), ò.ê. âñå îñòàëü-
íûå ïîäñòàíîâêè ïîðÿäêà 2 ñ (12) íå ïåðåñòàíîâî÷íû. Íî ýòè ïîäñòàíîâêè
êàê ðàç è îáðàçóþò ãðóïïó C22 . Â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 13 ëþáàÿ ïîäãðóïïà,
ñîäåðæàùàÿ 2-öèêë ñîïðÿæåíà ñ C22 , ò.å. èìååì êëàññ [C22 ]. Åñëè G íå ñî-
äåðæèò 2-öèêëîâ, òî îíà äîëæíà ñîäåðæàòü âñå ïîäñòàíîâêè òðåòåé ñòðîêè
èç òàáëèöû ýëåìåíòîâ S4 . Âìåñòå ñ åäèíèöåé îíè ñîñòàâëÿþò B4 , êîòîðàÿ
íîðìàëüíà è ïîòîìó åå êëàññ [B4 ] ñîñòîèò èç îäíîé ãðóïïû. 
     Ëåììà 4. Ïîäìíîæåñòâî B40 = B4 ∪ {(12), (34), (1423), (1324)} = B4 · C2
ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà 8.
     Ïî ëåììà 2 [B40 ]  åäèíñòâåííûé êëàññ ñîïðÿæåííûõ ïîäãðóïï ïîðÿäêà
8.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè B  íîðìàëüíàÿ, à C  ïðîèçâîëüíàÿ ïîäãðóïïû,
òî ìíîæåñòâî B ·C = {bc | b ∈ B, c ∈ C} ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé è, åñëè B ∩C =
{e}, òî |B · C| = |B| · |C|. Ïîäãðóïïû B4 è C2 óäîâëåòâîðÿþò ýòèì óñëîâèÿì.

     Òàêèì îáðàçîì, èìååì ïÿòü êëàññîâ òðàíçèòèâíûõ ïîäãðóïï â S4 : [C4 ], [B4 ], [B40 ],
[A4 ] è [S4 ].
     Îäèí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà äëÿ G ⊆ Sn : âûáè-
ðàåòñÿPïðîèçâîëüíûé ìîíîì F0 = xk1 · · · xkn è ðàññìàòðèâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí
                                                  1      n

F =        F0a . Î÷åâèäíî, ÷òî F a = F äëÿ âñÿêîãî a ∈ G. Ïðîâåðÿåòñÿ, áóäåò
ëè F îïðåäåëÿþùèì äëÿ G. Åñëè íåò, òî âûáèðàåòñÿ íîâûé ìîíîì è ò.ä.
       a∈G


     Ïîñòðîèì òàêèì ñïîñîáîì îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ C4 . Ìîíîìû
x1 è x1 x2 íå äàþò òðåáóåìîãî. Òîãäà êàê F0 = x21 x2 äàåò g = x21 x2 + x22 x3 +
x23 x4 + x1 x24 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ äëÿ C4 îïðåäåëÿþùèì. Òî, ÷òî g ÿâëÿåòñÿ
èíâàðèàíòíûì äëÿ C4 ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. Óáåäèìñÿ â åãî íåèí-
âàðèàíòíîñòè äëÿ ïîäñòàíîâîê íå ëåæàùèõ â C4 .
     Ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ C4 : (1), (12), (13), (14), (23), (34).
Èìååì
   g (1) = x21 x2 + x22 x3 + x23 x4 + x1 x24 ,        g (14) = x24 x2 + x22 x3 + x23 x1 + x4 x21 ,
   g (12) = x22 x1 + x21 x3 + x23 x4 + x2 x24 ,        g (23) = x21 x3 + x23 x2 + x22 x4 + x1 x24 ,
   g (13) = x23 x2 + x22 x1 + x21 x4 + x3 x24 ,        g (34) = x21 x2 + x22 x4 + x24 x3 + x1 x23 .
Òàê êàê âñå ýòè ìíîãî÷ëåíû ðàçëè÷íû, òî  îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí
                                                           g



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