Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p
p G p
S
3
S
4
n = 3 S
3
S
3
= {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}.
E = {(1)}, C
2
= {(1), (12)}, C
0
2
= {(1), (13)}, C
00
2
= {(1), (23)}, C
3
=
{(1), (123), (132)}, S
3
[E], [C
2
], [A
3
], [S
3
]
S
3
A
3
S
3
f
p
D(f) ∈ K G(f)
∼
=
A
3
f
p
D(f) /∈ K G(f)
∼
=
S
3
f
G(f)
∼
=
S
2
G(f)
∼
=
1
n = 4 S
4
A
4
S
4
S
4
S
4
C
4
C
2
× C
2
|G| = 4 G c
G
∼
=
C
4
e
G (xy)(xy) = xyxy = e ⇔ yx =
xy G
a, b ∈ G C
2
= {e, a} C
0
2
= {e, b}
C
2
·C
0
2
G
2 · 2 = 4 G
∼
=
C
2
× C
2
   Ñëåäñòâèå 2. Âñÿêàÿ òðàíçèòèâíàÿ ãðóïïà ïîäñòàíîâîê ïðîñòîé ñòåïå-
íè ñîäåðæèò p-öèêë.
   Ñëåäñòâèå 3. ×èñëî p-öèêëîâ, íå ëåæàùèõ â G äåëèòñÿ íà p.

                10. Òðàíçèòèâíûå ïîäãðóïïû â S3 è S4

   Ñëó÷àé   n=3  . Ïîðÿäîê S3 ðàâåí 6 è îíà ñîñòîèò èç ïîäñòàíîâîê:
                    S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}.

Åå ïîäãðóïïû: E = {(1)}, C2 = {(1), (12)}, C20 = {(1), (13)}, C200 = {(1), (23)}, C3 =
{(1), (123), (132)}, S3 . Êëàññû ñîïðÿæåííûõ ïîäãðóïï: [E], [C2 ], [A3 ], [S3 ].
    Ïðåäëîæåíèå 14. Â S3 òîëüêî äâå òðàíçèòèâíûå ïîäãðóïïû A3 è S3 .
Ïîýòîìó
    1) Åñëè ìíîãî÷ëåí f ñòåïåíè 3 íåïðèâîäèì è pD(f ) ∈ K , òî G(f ) ∼= A3 .
                                                    p

    2) Åñëè ìíîãî÷ëåí f ñòåïåíè 3 íåïðèâîäèì è D(f ) ∈/ K , òî G(f ) ∼= S3 .

    Çàìå÷àíèå. Äëÿ âñÿêîãî íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà f ñòåïåíè 2 èìååì
G(f ) ∼= S2 , à äëÿ ïðèâîäèìîãî G(f ) ∼= 1.
    Ñëó÷àé n = 4. Ïîðÿäîê S4 ðàâåí 6 è îíà ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ:
1. (1);
6. (12),(13),(14),(23),(24),(34);
3. (12)(34),(13)(24),(14)(23);
8. (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243);
6. (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432).
    Âîçìîæíûå ïîðÿäêè òðàíçèòèâíûõ ïîäãðóïï: 4, 8, 12, 24 (ñì. ïðåäëîæå-
íèå 11).
    Ëåììà 1. A4  åäèíñòâåííàÿ ïîäãðóïïà ïîðÿäêà 12 â S4 .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ïîäãðóïïà èíäåêñà 2 íîðìàëüíà, òî îíà äîëæ-
íà ñîäåðæàòü êàæäûé êëàññ ñîïðÿæåííîñòè òîëüêî öåëèêîì. Åäèíñòâåííàÿ
âîçìîæíîñòü ðàçëîæåíèÿ ÷èñëà 12 â ñóììó ïîðÿäêîâ êëàññîâ åñòü 12=1+3+8
(ïðè ýòîì 1 âõîäèò îáÿçàòåëüíî). 
    Ëåììà 2. Â S4 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé êëàññ ñîïðÿæåííûõ ïîäãðóïï
ïîðÿäêà 8.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäãðóïïû ïîðÿäêà 8 â S4 ÿâëÿþòñÿ ñèëîâñêèìè 2-
ïîäãðóïïàìè, êîòîðûå âñåãäà ñîïðÿæåíû. 
    Ëåììà 3. Ëþáàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà 4 èçîìîðôíà ëèáî C4 , ëèáî C2 × C2
è, ñëåäîâàòåëüíî, àáåëåâà.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü |G| = 4. Åñëè â G ñóùåñòâóåò ýëåìåíò c ïîðÿäêà
4, òî G ∼= C4 . Åñëè íåò, òî âñå ýëåìåíòû îòëè÷íûå îò åäèíèöû e ãðóïïû
èìåþò ïîðÿäîê 2 (ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà ïîðÿäîê ýëåìåíòà åñòü äåëèòåëü
ïîðÿäêà ãðóïïû). Ïîýòîìó ãðóïïà G àáåëåâà ((xy)(xy) = xyxy = e ⇔ yx =
xy ). Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ïîäãðóïïà â G íîðìàëüíû. Äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ
ýëåìåíòîâ a, b ∈ G ïîðÿäêà 2 èìååì äâå ïîäãðóïïû C2 = {e, a} è C20 = {e, b},
ïðîèçâåäåíèå C2 · C20 êîòîðûõ ïðÿìîå è ñîâïàäàåò ñ G (ò.ê. ïðîèçâåäåíèå èõ
ïîðÿäêîâ 2 · 2 = 4), ò.å. G ∼= C2 × C2 . 
                                        25

Страницы