Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

i ∈ S jf = j j ∈ T h g T
g = f h F
0
G S H
0
G T
G
∼
=
F
0
· H
0
f(x) K
K
f(x) n K
α
1
f α
1
, ..., α
m
(m ≤
n) g(x) = (x − α
1
) ···(x − α
m
)
K
G(f) f g
K m < n
f
g f
f = g ·h a ∈ G(f)
G(f)
G(g · h) = G(g) ·G(h) (g, h) = 1
G ⊆ S
n
n
G
i
= {a ∈ G |1 a = i} G
G
i
6= ∅ i = 1, ..., n a, b ∈ G
i
⇔ ab
−1
∈ G
1
G
i
G
G
1
c = (i
1
, ..., i
s
) q =
i
1
, ..., i
s
j
1
, ..., j
s
S
n
b = q
−1
aq = (j
1
, ..., j
s
)
j
1
b = j
2
j
1
d
6
i
1
d -
a
j
2
d
?
i
2
d
q
−1
q
a = c
1
c
2
···c
k
n c
i
q S
n
b = q
−1
aq a
b = c
0
1
c
0
2
···c
0
k
c
s
= (i
s1
, ..., i
st
) c
0
s
= (j
s1
, ..., j
st
)
j
sr
= i
sr
q, s = 1, ..., k
äëÿ âñÿêîãî i ∈ S è jf = j äëÿ âñÿêîãî j ∈ T , à h  ïðîåêöèÿ g íà T . Î÷å-
âèäíî, ÷òî g = f h. Ïóñòü F 0  ïðîåêöèÿ G íà S , H 0  ïðîåêöèÿ G íà T .
Òîãäà G ∼= F 0 · H 0 . 
    Òåîðåìà 7. Ìíîãî÷ëåí f (x) íåïðèâîäèì íàä ïîëåì K òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà åãî ãðóïïà Ãàëóà íàä K òðàíçèòèâíà (ò.å. âñå åãî êîðíè ñîïðÿ-
æåíû).
    Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f (x) íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n íàä K , òî
âñå åãî êîðíè ñîïðÿæåíû. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü α1  êîðåíü f è α1 , ..., αm (m ≤
n)  âñå ñîïðÿæåííûå ñ íèì ýëåìåíòû. Òîãäà g(x) = (x − α1 ) · · · (x − αm )
ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàä K , ò.ê. åãî êîýôôèöèåíòû, ÿâëÿÿñü ñèììåòðè-
÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îò êîðíåé, îñòàþòñÿ ñòàáèëüíûìè ïîä äåéñòâèåì ýëå-
ìåíòîâ èç G(f ) (ñì. ëåììó 1 Ÿ 2). Åñëè f íå ñîâïàäàåò ñ g (ñ òî÷íîñòüþ
äî ìíîæèòåëÿ èç K ), ò.å. m < n, òî ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ íåïðèâîäèìî-
ñòüþ f (íàïîìíèì, ÷òî åñëè ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà, òî ëþáîé
ñîïðÿæåííûé ñ íèì ýëåìåíò, òîæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ýòîãî ìíîãî÷ëåíà è ïî-
ýòîìó g äîëæåí äåëèòü f ).
    Îáðàòíî, åñëè f = g · h, òî íèêàêîé ýëåìåíò a ∈ G(f ) íå ïåðåâîäèò êîðíè
îäíîãî ìíîæèòåëÿ â êîðíè äðóãîãî, ò.å. G(f ) èíòðàíçèòèâíà. 
    Ñëåäñòâèå. Ãðóïïà Ãàëóà ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ ìíî-
ãî÷ëåíîâ áåç êðàòíûõ ìíîæèòåëåé åñòü ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï Ãàëóà
ìíîæèòåëåé (G(g · h) = G(g) · G(h), åñëè (g, h) = 1). 
    Ïðåäëîæåíèå 11. Ïîðÿäîê òðàíçèòèâíîé ãðóïïû G ⊆ Sn äåëèòñÿ íà
n.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Gi = {a ∈ G | 1 a = i}. Åñëè G òðàíçèòèâíà, òî
Gi 6= ∅ äëÿ âñåõ i = 1, ..., n. Èìååì a, b ∈ Gi ⇔ ab−1 ∈ G1 (ïîäãðóïïà 
ñòàáèëèçàòîð 1). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Gi  ïðàâûé êëàññ ñìåæíîñòè G ïî
G1 è ïîòîìó âñå ýòè ìíîæåñòâà ñîäåðæàò ïî îäèíàêîâîìó ÷èñëó ýëåìåíòîâ.

              Ïóñòü c = (i1 , ..., is )  öèêë è q =      ïîäñòàíîâêà
                                                                             
                                                               i1 , ..., is
    Ëåììà 1.
                                                               j1 , ..., js
èç ãðóïïû Sn ; òîãäà b = q aq = (j1 , ..., js ).
                          −1

   Äîêàçàòåëüñòâî. Öèêë ìîæåò áûòü íà÷àò ñ ëþáîãî ìåñòà, ïîýòîìó äîñòà-
òî÷íî óáåäèòñÿ, ÷òî j1 b = j2 . Ñìîòðè ñõåìó:
                                           a - d
                                      i1 d      i2
                                    q −1 6      q

                                      j1 d     dj2
                                               ?

    
    Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü a = c1 c2 · · · ck  ðàçëîæåíèå ïîäñòàíîâêè ñòåïåíè
n  íà íåçàâèñèìûå öèêëû ci , q  ïðîèçâîëüíàÿ ïîäñòàíîâêà èç Sn . Òîãäà
ïîäñòàíîâêà b = q−1 aq èìååò òàêîå æå öèêëè÷åñêîå ñòðîåíèå, ÷òî è a, ò.å.
b = c01 c02 · · · c0k . Ïðè ýòîì, åñëè cs = (is1 , ..., ist ), òî c0s = (js1 , ..., jst ), ãäå
jsr = isr q, s = 1, ..., k .


                                             23

Страницы