Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

s
k
= s
k
(α
1
, ..., α
n
) σ
i
= (−1)
i
a
i
/a
0
D(f) = b
2
− 4ac f = ax
2
+ bx + c
D(f) = −4a
3
c + a
2
b
2
+ 18abc − 4b
3
− 27 f = x
3
+ ax
2
+ bx + c
D(f) = −4p
3
− 27q
2
f = x
3
+ px + q
A
n
W =
Q
n≥i>j≥1
(x
i
− x
j
)
A
n
(i, j) W
(i,j)
= −W
W = det W (x
1
, ..., x
n
)
W
W A
n
G(f) ⊆ A
n
⇔ D(f ) K
G(z) [A
n
]
A
n
(1, 2) G(z) = (z − W
1
)(z −
W
(1,2)
) = z
2
− W
2
G
0
(z) = z
2
− W
2
0
G
0
(z) f
G(f) ⊆ A
n
W
0
∈ K
D(f) = a
2n−2
0
W
2
0
p
D(f) ∈ K
G ⊆ S
n
i, j ∈ {1, ..., n} a ∈ G
ia = j N = {1, ..., n}
G
G H
1
H
2
H
i
H
1
H
2
= G H
1
∩ H
2
= {e}
h = h
1
·h
2
, h ∈ G, h
i
∈ H
1
h
1
h
2
= h
2
h
1
s
H
i
∩ H
1
···H
i−1
H
i+1
···H
s
= {e}
G ⊆ S
n
S = {i
1
, ..., i
s
} T = {j
1
, ..., j
t
}
G N S ∪ T = N =
{1, ..., n} F H G
T S F H
g
G f g S if = ig
ïîëàãàÿ â íèõ sk = sk (α1 , ..., αn ) è σi = (−1)i ai /a0 .
     ÷àñíîñòè, èìååì (ìîæíî âû÷èñëèòü è òåì è äðóãèì ñïîñîáîì)
    a) D(f ) = b2 − 4ac äëÿ f = ax2 + bx + c.
    b) D(f ) = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27 äëÿ f = x3 + ax2 + bx + c.
    c) D(f ) = −4p3 − 27q2 äëÿ f = x3 + px + q.
    Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ An
    Ëåììà 7. Ìíîãî÷ëåí W =                    (xi − xj ) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì
                                         Q

äëÿ ãðóïïû An .
                                      n≥i>j≥1


    Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âñÿêîé òðàíñïîçèöèè (i, j) èìååì W (i,j) = −W .
 ñàìîì äåëå, W = det W (x1 , ..., xn ) è ïåðåñòàíîâêà äâóõ ïåðåìåííûõ â
ýòîì îïðåäåëèòåëå ðàâíîñèëüíà ïåðåñòàíîâêå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîëáöîâ,
÷òî ìåíÿåò åãî çíàê. Ïîýòîìó âñÿêàÿ ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà (êàê ïðîèçâåäåíèå
÷åòíîãî ÷èñëà òðàíñïîçèöèé) ñîõðàíÿåò W , à âñÿêàÿ íå÷åòíàÿ ìåíÿåò çíàê,
ò.å. W ñòàáèëåí òîëüêî ïðè äåéñòâèè ýëåìåíòîâ èç An . 
    Ïðåäëîæåíèå 9. G(f ) ⊆ An ⇔ D(f )  ïîëíûé êâàäðàò â K .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Âû÷èñëèì îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí G(z) äëÿ [An ]. Òàê
êàê ïîäãðóïïà An èìååò èíäåêñ 2, òî ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ íåå
ñîäåðæèò äâà ýëåìåíòà, íàïðèìåð, 1 è (1, 2). Ïîýòîìó G(z) = (z − W 1 )(z −
W (1,2) ) = z 2 − W 2 (ñì. äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 7) è G0 (z) = z 2 − W02 (ïðè
ýòîì G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé, åñëè èõ íå èìååò f ). Ñëåäîâàòåëüíî,
ïî ïðåäëîæåíèþ        3 G(f ) ⊆ An òîëüêî òîãäà, êîãäà      p W0 ∈ K . Ïîñêîëüêó
D(f ) = a2n−2
           0    W02 , ïîñëåäíåå ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ D(f ) ∈ K . 

                          9. Òðàíçèòèâíûå ãðóïïû

   Òðàíçèòèâíîñòü è èíòðàíçèòèâíîñòü.        Ãðóïïà G ⊆ Sn íàçûâàåòñÿ òðàíçè-
òèâíîé    , åñëè äëÿ ëþáûõ i, j ∈ {1, ..., n} íàéäåòñÿ ïîäñòàíîâêà a ∈ G òàêàÿ,
÷òî ia = j . Èíà÷å ãîâîðÿ, ìíîæåñòâî N = {1, ..., n} íå èìååò ñîáñòâåííûõ
îðáèò îòíîñèòåëüíî G.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ãðóïïà íàçûâàåòñÿ èíòðàíçè-
òèâíîé.
    Íàïîìèíàíèå. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï (âíóòðåííåå). Âíóòðåííåå ïðÿ-
ìîå ïðîèçâåäåíèå (ïîäãðóïï G) H1 è H2 : îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè 1) íîð-
ìàëüíîñòü Hi , 2) H1 H2 = G, 3) H1 ∩ H2 = {e}, èç êîòîðûõ ñëåäóþò: 4)
åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (h = h1 · h2 , h ∈ G, hi ∈ H1 ), 5) êîììóòàòèâ-
íîñòü (h1 h2 = h2 h1 ), 6) Ñâîéñòâà 2, 4 è 5 ìîãóò áûòü âçÿòû çà îïðåäåëå-
íèå âíóòðåííåãî ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ.  ñëó÷àå s ìíîæèòåëåé (ñâîéñòâî
3 ïðèíèìàåò âèä Hi ∩ H1 · · · Hi−1 Hi+1 · · · Hs = {e}).
    Ïðåäëîæåíèå 10. Åñëè ãðóïïà G ⊆ Sn èíòðàíçèòèâíà, òî îíà ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ñâîèõ ïîäãðóïï.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S = {i1 , ..., is } è T = {j1 , ..., jt }  äâà èíâàðèàíò-
íûõ ïîä äåéñòâèåì ãðóïïû G ïîäìíîæåñòâà â N òàêèå, ÷òî S ∪ T = N =
{1, ..., n}. Ïóñòü F (ñîîòâ., H )  ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ èç G, êîòîðûå
îñòàâëÿþò íà ìåñòå âñå èíäåêñû èç T (ñîîòâ., èç S ). Î÷åâèäíî, ÷òî F è H 
ïîäãðóïïû, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1) è 3) îïðåäåëåíèÿ ïðÿìî-
ãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîäãðóïï. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü 2). Ïóñòü g  ïðîèçâîëüíûé
ýëåìåíò ãðóïïû G è f  ïðîåêöèÿ g íà S , ò.å. òàêàÿ ïîäñòàíîâêà, ÷òî if = ig
                                        22

Страницы