Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 25 стр.

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КФУ | Казань

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q
s
q I
s
=
{i
s1
, ..., i
st
} c
s
b = q
−1
aq = (q
−1
c
1
q)(q
−1
c
2
q) ···(q
−1
c
k
q) =
(q
−1
1
c
1
q
1
) ·(q
−1
2
c
2
q
2
) ···(q
−1
k
c
k
q
k
) = c
0
1
c
0
2
···c
0
k
c
0
s
= q
−1
s
c
s
q
s
c
s
S
n
⇐ ⇒
a = c
1
c
2
···c
k
b = c
0
1
c
0
2
···c
0
k
c
s
= (i
s1
, ..., i
st
) c
0
s
= (j
s1
, ..., j
st
)
n
q i
sr
q = j
sr
s = 1, ..., k r = 1, ..., t
s
a b q
b = q
−1
aq
n (n − 1)!
S
n
n
(n−1)!
ϕ(n)
ϕ(n)
n S
n
x
n
n ϕ(n)
x
n
ϕ = (n −1)!
S
n
n
n
c = (i
1
, i
2
, ..., i
n
) c
k−1
i
1
i
k
, k = 1, ..., n
a = (i
1
, ..., i
p
) ∈ S
p
p q
−1
aq = a
q = a
k
q =
i
1
, ..., i
p
j
1
, ..., j
p
b = q
−1
aq =
(j
1
, ..., j
p
) b = a j
1
= i
k+1
j
s
= i
s
0
s
0
≡ s + k (mod p)
a
k
i
s
q = i
s+k
=
i
s
a
k
C p S
p
p
|C| = (p − 1)! |G| G ⊆ S
p
p
G ∩ C 6= ∅
G ⊆ S
p
C
a
= {c ∈ C |c = u
−1
au, u ∈ G}
a ∈ C
C
a
∩ C
b
6= ∅ ⇒ C
a
= C
b
x ∈ C
a
∩ C
b
⇒ x =
u
−1
au = v
−1
bv ⇒ a ∈ C
b
b ∈ C
a
a = u
−1
1
bu
1
⇒ C
a
⊆ C
b
b = v
−1
1
av
1
⇒ C
b
⊆ C
a
C
a
= C
b
u, v, u
1
, v
1
∈ G
a /∈ G |C
a
| = |G| ϕ : G → C
a
ϕ(u) = u
−1
au a C
a
, u ∈ G
u
−1
au = a u = a
k
k ≥ 1 (p, k) = 1
1 ≤ k < p s, t ∈ Z sk + tp = 1 a = a
sk+tp
=
a
ks
= u
s
∈ G u
−1
au = v
−1
av ⇒ u = v
ϕ |C
a
| = |G|
⇒ C∩G = ∅ ⇒ |C| |G| p
|C| = (p − 1)! C ∩ G 6= ∅ 
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü  îãðàíè÷åíèå íà ìíîæåñòâî ÷èñåë
                                           qs                           q                             Is =
{is1 , ..., ist }, âõîäÿùèõ â öèêë . Òîãäà èìååì
                                             cs                       b = q −1 aq = (q −1 c1 q)(q −1 c2 q) · · · (q −1 ck q) =
                                                             , ãäå
(q1−1 c1 q1 ) · (q2−1 c2 q2 ) · · · (qk−1 ck qk ) = c01 c02 · · · c0k                ÿâëÿåòñÿ öèê-
                                                                          c0s = qs−1 cs qs
ëîì òîé æå äëèíû, ÷òî è â ñèëó ëåììû 1. cs                               
    Ïðåäëîæåíèå 12.           Äâå ïîäñòàíîâêè â ñîïðÿæåíû òîãäà è òîëüêî
                                                                      Sn
òîãäà, êîãäà îíè èìåþò îäèíàêîâîå öèêëè÷åñêîå ñòðîåíèå.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå ⇐ äîêàçàíî â ñëåäñòâèè 1. Äîêàæåì ⇒.
Ïóñòü a = c1 c2 · · · ck è b = c01 c02 · · · c0k , ãäå cs = (is1 , ..., ist ) è c0s = (js1 , ..., jst ), 
äâå ïîäñòàíîâêè ñòåïåíè n ñ îäèíàêîâûì öèêëè÷åñêèì ñòðîåíèåì. Îïðåäå-
ëèì ïîäñòàíîâêó q ðàâåíñòâàìè isr q = jsr äëÿ âñåõ s = 1, ..., k è r = 1, ..., ts .
Ïîñêîëüêó a è b ðàçëîæåíû íà íåçàâèñèìûå öèêëû, òî q äåéñòâèòåëüíî
ïîäñòàíîâêà, è b = q−1 aq â ñèëó ëåììû. 
      ×èñëî âñåõ öèêëîâ äëèíû n ðàâíî (n − 1)! (íà ïåðâîì ìåñòå â öèêëå
ïîñòàâèì 1, îñòàëüíûå èíäåêñû ìîæíî ðàñïîëîæèòü ïðîèçâîëüíî).
      ×èñëî âñåõ öèêëè÷åñêèõ ïîäãðóïï â Sn ïîðÿäêà n ðàâíî (n−1)!                          ϕ(n) , ãäå
ϕ(n)  ôóíêöèÿ Ýéëåðà. (Ïóñòü ÷èñëî âñåõ öèêëè÷åñêèõ ïîäãðóïï ïîðÿä-
êà n â Sn ðàâíî xn . ×èñëî öèêëîâ äëèíû n â êàæäîé èç íèõ ðàâíî ϕ(n).
Ïîýòîìó xn ϕ = (n − 1)!  ÷èñëó âñåõ òàêèõ öèêëîâ).
      Âñÿêàÿ ãðóïïà â Sn , ñîäåðæàùàÿ òðàíçèòèâíóþ ïîäãðóïïó, òðàíçè-
òèâíà.  ÷àñòíîñòè, ãðóïïà, ñîäåðæàùàÿ öèêë äëèíû n, òðàíçèòèâíà. (Ò.ê.
âñÿêèé öèêë äëèíû n ïîðîæäàåò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó, êîòîðàÿ òðàíçè-
òèâíà: åñëè c = (i1 , i2 , ..., in ), òî ck−1 ïåðåâîäèò i1 â ik , k = 1, ..., n.)
     Ëåììà 2. Ïóñòü öèêë a = (i1 , ..., ip ) ∈ Sp (p  ïðîñòîå). Åñëè q −1 aq = a,
òî q = ak .
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü q = ji11 ,, ...,                   ; òîãäà ïî ëåììå 1 b = q−1 aq =
                                                           
                                                         ip
                                                    ..., jp
(j1 , ..., jp ). Åñëè b = a è j1 = ik+1 , òî js = is , ãäå s0 ≡ s + k (mod p). Òàê êàê
                                                              0

ýòî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèçóþùèì óñëîâèåì äëÿ ïîäñòàíîâêè ak (is q = is+k =
is ak ). 
     Ïðåäëîæåíèå 13. Ïóñòü C  ìíîæåñòâî âñåõ p-öèêëîâ â Sp (p  ïðî-
ñòîå, |C| = (p − 1)!). Åñëè ïîðÿäîê |G| ãðóïïû G ⊆ Sp äåëèòñÿ íà p, òî
G ∩ C 6= ∅.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G ⊆ Sp è Ca = {c ∈ C | c = u−1 au, u ∈ G} äëÿ
a ∈ C.
     a) Ca ∩ Cb 6= ∅ ⇒ Ca = Cb . Äåéñòâèòåëüíî, x ∈ Ca ∩ Cb ⇒ x =
u−1 au = v −1 bv ⇒ a ∈ Cb è b ∈ Ca , ò.å. a = u−1                        1 bu1      ⇒ Ca ⊆ Cb è
b = v1−1 av1 ⇒ Cb ⊆ Ca . Òàêèì îáðàçîì, Ca = Cb . Çäåñü u, v, u1 , v1 ∈ G.
     b) Åñëè a ∈/ G, òî |Ca | = |G|. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ϕ : G → Ca ,
ïîëàãàÿ ϕ(u) = u−1 au (a  ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò èç Ca , u ∈ G). Ïóñòü
u−1 au = a, òîãäà ïî ëåììå u = ak ; åñëè k ≥ 1, à çíà÷èò (p, k) = 1, ò.ê.
1 ≤ k < p, òî ñóùåñòâóþò s, t ∈ Z òàêèå, ÷òî sk + tp = 1, è a = ask+tp =
aks = us ∈ G  ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, u−1 au = v −1 av ⇒ u = v ,
ò.å. ϕ  âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå è |Ca | = |G|.
     c) b) ⇒ C ∩G = ∅ ⇒ |C| äåëèòñÿ íà |G|, à çíà÷èò è íà p, ÷òî íåâîçìîæíî,
ò.ê. |C| = (p − 1)!. Ïîýòîìó C ∩ G 6= ∅. 

                                                    24

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