Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
1
, ..., x
n
K f(x) = a
0
x
n
+a
1
x
n−1
+
··· + a
n
K α
1
, ..., α
n
G S
n
G(z) = G(z, x
1
, ..., x
n
)
[G] G
0
(z) = G(z, α
1
, ..., α
n
) G
0
(z)
K
G(f) ⊆ G ⇒ ∃γ ∈ K : G
0
(γ) = 0
f K G
i
∈ [G] G
0
(z)
K
G
0
(z) = (z −g
a
1
0
) ···(z −g
a
s
0
) g
a
i
G
i
∈ [G] = {G
1
, ..., G
s
} G(f) ⊆ G
i
g
a
i
a
= g
a
i
∀a ∈ G
i
⇒
g
a
i
b
0
= g
a
i
0
∀b ∈ G(f) ⇒ g
a
i
0
∈ K
G
0
(z) ∃γ ∈ K :
G
0
(γ) = 0 ⇒ G(f) ⊆ G
i
∈ [G]
g
a
i
0
= β
i
∈ K ∀b ∈ G(f) : β
b
i
= β
i
; g
a
i
b
0
= g
a
i
0
=
β
i
g
a
j
0
= g
a
i
0
⇒ i = j
g
a
i
b
0
= g
a
i
0
∀b ∈ G(f) ⇒ G(f) ⊆ G
i
∈ [G] g
a
i
G
i
G
0
(z) f
K
f(x) ∈ K[x] G ⊂ S
n
[G]
G(z) G
0
(z)
K c
1
, ..., c
n
∈ K
h
k
= h
k
(x
1
, ..., x
k
) = c
1
x
1
+···+c
k
x
k
(h
a
k
)
0
= (h
b
k
)
0
⇔
x
a
i
= x
b
i
, i = 1, ..., k (h
k
)
0
= c
1
α
1
+ ··· + c
k
α
k
a, b ∈ S
n
h
k
= h
k−1
+ c
k
x
k
(c
1
6= 0) h
a
k
= h
a
k−1
+
c
k
x
i
, h
b
k
= h
b
k−1
+ c
k
x
j
, i 6= j x
a
k
= x
i
, x
b
k
= x
j
h
a
k
− h
b
k
=
h
a
k−1
−h
b
k−1
+ c
k
(α
i
−α
j
) 6= 0 ⇔ c
k
6= −
h
a
k−1
−h
b
k−1
α
i
−α
j
a, b ∈ S
n
c
i
6= c
j
i 6= j h
h
a
0
= h
b
0
⇔ a = b (a, b ∈ S
n
)
h
a
0
K(α
1
, ..., α
n
)
h
a
c
i
h
G = {b
1
, ..., b
m
} h = h
n
ϕ(t) = (t−h
b
1
) ···(t−h
b
m
) t
0
∈ K g
a
i
6= g
a
j
i 6= j g = ϕ(t
0
) a
1
, ..., a
s
G g G
G(z) = (z − g
a
1
0
) ···(z − g
a
s
0
)
G(z) g
a
i
0
g
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ··· + a
n−1
x +
a
n
K α
1
, ..., α
n
g
a
0
(a ∈ S
n
) g
a
0
= g
a
(α
1
, ..., α
n
) = g(α
1a
, ..., α
na
)
ìíîãî÷ëåíû è îò x1 , ..., xn . 
      Âû÷èñëåíèå ãðóïïû Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà íàä K . Ïóñòü f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +
· · · + an  ìíîãî÷ëåí íàä K áåç êðàòíûõ êîðíåé, α1 , ..., αn  åãî êîðíè.
G  íåêîòîðàÿ ïîäãðóïïà â Sn è G(z) = G(z, x1 , ..., xn )  îïðåäåëÿþùèé
ìíîãî÷ëåí äëÿ [G]. Ïîëîæèì G0 (z) = G(z, α1 , ..., αn ).  ñèëó ëåììû 5 G0 (z)
 ìíîãî÷ëåí íàä K .
      Ïðåäëîæåíèå 6. G(f ) ⊆ G ⇒ ∃ γ ∈ K : G0 (γ) = 0. (Åñëè ãðóïïà
Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà f (íàä K ) ñîäåðæèòñÿ â Gi ∈ [G], òî G0 (z) èìååò êîðåíü
â K ).
      Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì G0 (z) = (z − g0a ) · · · (z − g0a ), ãäå ga  îïðåäåëÿ-
                                                            1                   s                i

þùèé     äëÿ Gi ∈ [G] = {G1 , ..., Gs }; åñëè G(f ) ⊆ Gi , òî g a a = g a ∀ a ∈ Gi ⇒     i           i

g0 = g0 ∀ b ∈ G(f ) ⇒ g0a ∈ K 1 . 
  a b
    i     a   i                      i


      Ïðåäëîæåíèå 7. Ïóñòü G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé è ∃ γ ∈ K :
G0 (γ) = 0 ⇒ G(f ) ⊆ Gi ∈ [G].
      Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g0a = βi ∈ K . ∀ b ∈ G(fa) : βib =a βi ; g0a b = g0a =
                                           i                                                             i       i


βi . Òàê êàê íåò êðàòíûõ êîðíåé, òî ýòî âëå÷åò g0 = g0 ⇒ i = j , ò.å.       j                i


g0a b = g0a ∀b ∈ G(f ) ⇒ G(f ) ⊆ Gi ∈ [G], ò.ê. g a  îïðåäåëÿþùèé äëÿ Gi
    i         i                                                         i


        Ïîñòðîåíèå     G0 (z)   áåç êðàòíûõ êîðíåé (äëÿ äàííîãî                     f)
        Ïðåäëîæåíèå 8.         ñëó÷àå, êîãäà ïîëÿ K áåñêîíå÷íî, äëÿ äàííûõ ìíî-
ãî÷ëåíà f (x) ∈ K[x] è ãðóïïû G ⊂ Sn ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé äëÿ [G]
ìíîãî÷ëåí G(z) òàêîé, ÷òî G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé.
    Ëåììà 6. Åñëè ïîëå K áåñêîíå÷íî, òî ñóùåñòâóþò c1 , ..., cn ∈ K òàêèå,
÷òî äëÿ êàæäîãî hk = hk (x1 , ..., xk ) = c1 x1 +· · ·+ck xk èìååì (hak )0 = (hbk )0 ⇔
xai = xbi , i = 1, ..., k , ãäå (hk )0 = c1 α1 + · · · + ck αk è a, b ∈ Sn .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì hk = hk−1 + ck xk (c1 6= 0); ïóñòü hak = hak−1 +
ck xi , hbk = hbk−1 + ck xj , i 6= j (ò.å. xak = xi , xbk = xj ). Òîãäà hak − hbk =
                                                                äëÿ ëþáûõ a, b ∈ Sn . 
                                                            a       b
                                                    h    −h
hak−1 − hbk−1 + ck (αi − αj ) 6= 0 ⇔ ck 6= − α −α           k−1     k−1


    Çàìå÷àíèå 2. Óñëîâèå: ci 6= cj ïðè i 6= j â îïðåäåëåíèè h íåäîñòàòî÷íî
                                                                i   j



äëÿ òîãî, ÷òîáû ha0 = hb0 ⇔ a = b (a, b ∈ Sn ) (ïî ñðàâíåíèþ ñ äîêàçàòåëü-
ñòâîì ïðåäëîæåíèÿ 1 çäåñü ha0  ýëåìåíòû ïîëÿ K(α1 , ..., αn ), òîãäà êàê òàì
ha  ìíîãî÷ëåíû). Ïîýòîìó çäåñü äëÿ âûáîðà ci ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü áî-
ëåå òîíêîå ðàññóæäåíèå. Íî ïîñëå òîãî, êàê óäàåòñÿ íàéòè íóæíîå h, äîâîäû
äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ 1 ñîõðàíÿþò ñâîþ ñèëó.
    Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 8. Ïóñòü G = {b1 , ..., bm }, h = hn (ñì. ëåì-
ìó 6) è ϕ(t) = (t − hb ) · · · (t − hb ). Åñëè t0 ∈ K ïîäîáðàíî òàê, ÷òî ga 6= ga
                                1              m                                                             i       j

ïðè i 6= j , ãäå g = ϕ(t0 ), à a1 , ..., as  ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ
G, òî g  îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ G, ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãî÷ëåí
G(z) = (z − g0a ) · · · (z − g0a ) êîòîðîãî áóäåò èñêîìûì. Äåéñòâèòåëüíî, êîð-
                   1                 s


íÿìè G(z) ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû g0a , êîòîðûå ïî ïîñòðîåíèþ g âñå ðàçëè÷íû.
                                                   i



    Äèñêðèìèíàíò ìíîãî÷ëåíà. Ïóñòü f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x +
an  ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä ïîëåì K è α1 , ..., αn  åãî êîðíè (íå
    1 Çäåñü   è íèæå ïîä   g0a (a ∈ Sn )   ìû ïîíèìàåì      g0a = g a (α1 , ..., αn ) = g(α1a , ..., αna ).




                                                       20

Страницы