Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

G ⊆ S
n
f = f(x
1
, ..., x
n
)
n K a n a ∈ S
n
f
a
= f(x
1a
, x
2a
, ..., x
na
) ia a i a : i 7→ ia
f a f
a
= f
G S
n
G ⊆ S
n
f
G f
a
= f a ∈ G
G g n
G ⊆ S
n
g
a
= g ⇔ a ∈ G
g G
a b S
n
g
G
g
a
= g
b
⇔ ab
−1
∈ G
g G g
a
= g
b
⇒
g
ab
−1
= g ⇒ ab
−1
∈ G g G
g
a
= g
b
ab
−1
/∈ G g
ab
−1
= g ab
−1
G g g
g
a
= g
b
g
ab
−1
= g
g G
a b G ab
−1
∈ G g
a
= g
b
ab
−1
/∈ G
ab
−1
G g g
a
1
, ..., a
s
G S
n
g G
g
a
i
, i = 1, ..., s
g G
g
a
i
6= g
a
j
i 6= j
g
a
= g
b
ab
−1
∈ G g
G ab
−1
∈ G g
a
= g
b
G ⊆ S
n
g
G a
1
, ..., a
s
K G S
n
G = {b
1
, ..., b
m
} h = h(x
1
, ..., x
n
) = c
1
x
1
+ ··· +
c
n
x
n
c
i
∈ K c
i
6= c
j
i 6= j K
h
a
= h
b
⇔ a = b (a, b ∈ S
n
) h
a
= h
b
⇒ c
ia
= c
ib
ϕ(t, x
1
, ..., x
n
) = (t − h
b
1
) ···(t − h
b
m
)
ϕ
a
i
(t), i = 1, ..., s a
1
, ..., a
s
                             ×àñòü II (II ñåìåñòð)

      8. Ìíîãî÷ëåíû, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G ⊆ Sn

     Äåéñòâèå ïîäñòàíîâêè íà ìíîãî÷ëåíå. Ïóñòü f = f (x1 , ..., xn )  ìíîãî÷ëåí
îò n ïåðåìåííûõ íàä ïîëåì K è a  ïîäñòàíîâêà ñòåïåíè n (a ∈ Sn ). Ïîëî-
æèì f a = f (x1a , x2a , ..., xna ), ãäå ia  ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ a íà i (a : i 7→ ia).
Ìíîãî÷ëåí f íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî a, åñëè f a = f .
     Ïóñòü G  ïîäãðóïïà â Sn (G ⊆ Sn ). Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí f èíâàðè-
àíòåí îòíîñèòåëüíî G, åñëè f = f äëÿ êàæäîãî a ∈ G (ò.å. èíâàðèàíòåí
                                        a

îòíîñèòåëüíî âñåõ ýëåìåíòîâ èç G). Ìíîãî÷ëåí g (îò n ïåðåìåííûõ) íàçû-
âàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ G ⊆ Sn , åñëè ga = g ⇔ a ∈ G.
     Ëåììà 1. Ìíîãî÷ëåí g ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ G òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îäèíàêîâîå äåéñòâèå äâóõ ðàçíûõ ýëåìåíòîâ a è b èç Sn íà g
îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü èõ ê îäíîìó ïðàâîìó êëàññó ñìåæíîñòè ïî G (ò.å.
g a = g b ⇔ ab−1 ∈ G).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g îïðåäåëÿþùèé äëÿ G. Èìååì ga = gb ⇒
        = g ⇒ ab−1 ∈ G, ò.ê. g îïðåäåëÿþùèé äëÿ G.
      −1
  ab
g
     Îáðàòíî, ïóñòü ga = gb , íî ab−1 ∈/ G. Òîãäà gab = g, ò.å. ýëåìåíò ab−1 ,
                                                            −1


íåëåæàùèé â G, ñîõðàíÿåò g, è ñëåäîâàòåëüíî, g íå îïðåäåëÿþùèé.
     Äðóãàÿ ðåäàêöèÿ: äâà ðàâåíñòâà ga = gb è gab = g, î÷åâèäíî, ýêâè-
                                                            −1


âàëåíòíû. Ïîýòîìó, åñëè g îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî îäèíàêîâîå äåéñòâèå
a è b íà G âëå÷åò ab−1 ∈ G. Îáðàòíî, åñëè g a = g b , íî ab−1 ∈        / G, ò.å. ýëå-
ìåíò ab−1 , íåëåæàùèé â G, ñîõðàíÿåò g, è ñëåäîâàòåëüíî, g íå ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì. 
     Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü a1 , ..., as  ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé ïðà-
âûõ êëàññîâ ñìåæíîñòè ïîäãóïïû G â Sn (ò.å. ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæ-
äîãî êëàññà); ìíîãî÷ëåí g, èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G, ÿâëÿ-
åòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ íåå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ìíîãî÷ëåíû
g a , i = 1, ..., s ðàçëè÷íû.
  i

     Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè g îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî ïî ëåììå 1 äëÿ ëþáûõ
ïðåäñòàâèòåëåé ga 6= ga ïðè i 6= j . Îáðàòíîå òîæå ÿñíî, ò.ê. ýòî íåðà-
                     i       j

âåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ga = gb âîçìîæíî òîëüêî, êîãäà ab−1 ∈ G (åñëè g
èíâàðèàíòíà äëÿ G è ab−1 ∈ G, òî ga = gb â ëþáîì ñëó÷àå). 
      äàëüíåéøåì, êàê ïðàâèëî, îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí ãðóïïû G ⊆ Sn
áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç g, à ïîëíóþ ñèñòåìó ïðåäñòàâèòåëåé ïðàâûõ êëàññîâ
ñìåæíîñòè ïî G  ÷åðåç a1 , ..., as è íàçûâàòü åå ïðîñòî ñèñòåìîé ïðåäñòà-
âèòåëåé.
     Ïðåäëîæåíèå 5. (Î ñóùåñòâîâàíèè îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà). Íàä
áåñêîíå÷íûì ïîëåì K äëÿ êàæäîé ïîäãðóïïû G â Sn ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿ-
þùèé ìíîãî÷ëåí.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G = {b1 , ..., bm } è h = h(x1 , ..., xn ) = c1 x1 + · · · +
cn xn , ãäå ci ∈ K è ci 6= cj ïðè i 6= j (ýòî âîçìîæíî, ò.ê. K áåñêîíå÷íî).  òà-
êîì ñëó÷àå áóäåì èìåòü: ha = hb ⇔ a = b (a, b ∈ Sn ) (ha = hb ⇒ cia = cib ).
Ïîýòîìó, åñëè ïîëîæèòü ϕ(t, x1 , ..., xn ) = (t − hb ) · · · (t − hb ), òî âñå ìíî-
                                                        1            m

ãî÷ëåíû ϕa (t), i = 1, ..., s, ãäå a1 , ..., as  ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé,
             i




                                          18

Страницы