Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

h
a
, a ∈ S
n
t
0
∈ K ϕ
a
i
(t
0
) 6= ϕ
a
j
(t
0
) i 6= j
ϕ(t
0
, x
1
, ..., x
n
)
G
m
G
α
1
, ..., α
n
f(x)
K K
F = K(α
1
, ..., α
n
)
f(x)
K
F K F
α
1
, ..., α
n
K F
K
f
α
1
, ..., α
n
G(f)
α
1
a, ..., α
n
a a ∈ S
n
a
−1
G(f)a
f(x)
F G F
a
a
−1
Ga F G F
a
a
−1
Ga
[G] g
G ⊆ S
n
a
1
, ..., a
s
G
G(z) = G(z, x
1
, ..., x
n
) = (z −g
a
1
) ···(z −g
a
s
)
[G] [G]
G(z) = (z −g
a
1
) ···(z −g
a
s
) G ∈ [G]
g
G(z) x
1
, ..., x
n
G
a
(z) = G(z)
a ∈ S
n
G
a
(z) = (z − g
a
1
)
a
···(z − g
a
s
)
a
= (z − g
a
1
a
) ···(z −
g
a
s
a
) a
1
, ..., a
s
G a
1
a, ..., a
s
a
a
i
a(a
j
)
−1
= a
i
a
−1
j
G
a
(z) = G(z)
G(z) = z
s
−σ
1
z
s−1
+···+(−1)
s
σ
s
σ
k
g
a
1
, ..., g
a
s
a ∈ S
n
σ
k
ðàçëè÷íû (ò.ê. èõ êîðíè ha , a ∈ Sn ðàçëè÷íû) è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî
ïîäîáðàòü t0 ∈ K òàê, ÷òîáû ϕa (t0 ) 6= ϕa (t0 ) äëÿ ëþáûõ i 6= j . Òîãäà
                                      i                j

ϕ(t0 , x1 , ..., xn )  èñêîìûé ìíîãî÷ëåí. 
    Çàìå÷àíèå 1. Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 1 íå òîëüêî óñòàíàâëèâàåò
ñóùåñòâîâàíèå îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà äëÿ G, íî è äàåò íåêîòîðûé ñïî-
ñîá åãî ïîñòðîåíèÿ. Îäíàêî, êàê áóäåò âèäíî â äàëüíåéøåì èç ïðèìåðîâ,
ýòîò ñïîñîá äàëåêî íå âñåãäà ïðèâîäèò ê ïðîñòåéøåìó èç îïðåäåëÿþùèõ
ìíîãî÷ëåíîâ. Ïîëó÷àåìûé ýòèì ñïîñîáîì ìíîãî÷ëåí èìååò ñòåïåíü m (ïî-
ðÿäîê ãðóïïû G), íî ÷àñòî ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí ìåíüøåé
ñòåïåíè. Íèæå áóäåò ðàññìîòðåí åùå îäèí ñïîñîá.
    Ñîïðÿæåííûå ïîäãðóïïû è êëàññ ñîïðÿæåííîñòè.
    Íàïîìíèì, ÷òî ïîäñòàíîâêà êîðíåé α1 , ..., αn ìíîãî÷ëåíà f (x) íàä ïîëåì
K ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ãðóïïû Ãàëóà ýòîãî ìíîãî÷ëåíà (íàä K ), åñëè îíà
ïðîäîëæàåòñÿ äî àâòîìîðôèçìà ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ F = K(α1 , ..., αn ) ìíîãî-
÷ëåíà f (x). Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ïîäñòàíîâîê îáðàçóåò ãðóïïó Ãàëóà ýòîãî
ìíîãî÷ëåíà (íàä K ). Ýòà ãðóïïà ñîâïàäàåò ñ ãðóïïîé àâòîìîðôèçìîâ ïîëÿ
F , ñòàáèëüíûõ íà êàæäîì ýëåìåíòå èç K . (Êàæäûé ýëåìåíò ïîëÿ F ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè îò α1 , ..., αn . Âñÿêàÿ ïåðåñòà-
íîâêà êîðíåé âëå÷åò ïåðåñòàíîâêó ýòèõ ôóíêöèé è òîëüêî ýëåìåíòû ïîëÿ
K îñòàþòñÿ íà ìåñòå. Îáðàòíî, âñÿêèé àâòîìîðôèçì ïîëÿ F , ñîõðàíÿþùèé
ýëåìåíòû K , ïåðåñòàâëÿåò êîðíè.)
    Ëåììà 2. Ãðóïïà Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà f çàâèñèò îò íóìåðàöèè (ïîðÿäêà)
åãî êîðíåé. Åñëè ïðè äàííîì ïîðÿäêå α1 , ..., αn åãî ãðóïïà åñòü G(f ), òî
ïðè èçìåíåííîì ïîðÿäêå α1 a, ..., αn a (ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîëüíîãî a ∈ Sn ) åãî
ãðóïïà áóäåò a−1 G(f )a.
    Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïà Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà f (x) îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ
äî ñîïðÿæåííîñòè.
    Ëåììà 3. Åñëè F èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî G, òî F a èíâàðèàíòåí îò-
íîñèòåëüíî a−1 Ga, è åñëè F îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî F a îïðåäåëÿþùèé
äëÿ a−1 Ga.
    Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ [G]. Ïóñòü g  îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí
äëÿ G ⊆ Sn è a1 , ..., as  ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ G, òîãäà ìíîãî-
÷ëåí G(z) = G(z, x1 , ..., xn ) = (z −ga ) · · · (z −ga ) íàçûâàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì
                                          1                s

ìíîãî÷ëåíîì äëÿ [G] èëè ðåçîëüâåíòîé [G].
    Ëåììà 4. G(z) = (z − g a ) · · · (z − g a ) íå çàâèñèò îò G ∈ [G], íî çàâèñèò
                               1                   s

îò g.
    Ëåììà 5. Êîýôôèöèåíòû G(z)  ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îò x1 , ..., xn .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî G a (z) = G(z) äëÿ ëþáîé ïîä-
ñòàíîâêè a ∈ Sn . Èìååì G a (z) = (z − ga )a · · · (z − ga )a = (z − ga a ) · · · (z −
                                                   1           s             1

g a a ). Ïîñêîëüêó a1 , ..., as  ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé (ïðàâûõ êëàññîâ
  s

ñìåæíîñòè ïî G−1), òî è a1 a, ..., as a  òîæå ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé (ò.ê.
ai a(aj )−1 = ai aj ). Îòñþäà G a (z) = G(z).
    Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ G(z) = zs −σ1 zs−1 +· · ·+(−1)s σs ,
ãäå σk  ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò ga , ..., ga , à ò.ê. ïîä
                                                                   1     s

äåéñòâèåì a ∈ Sn ýòè ôóíêöèè ïåðåñòàâëÿþòñÿ, òî σk  ñèììåòðè÷åñêèå

                                              19

Страницы