Введение в теорию Галуа. Ермолаев Ю.Б. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

c
k
=
1 2 3 4 5
1 + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 + k
,
i
m
, m = 2, 3, 4, 5
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
1 2 3 4 5
1 i
2
i
3
i
4
i
5
=
1 2 3 4 5
1 i
2
i
3
i
4
i
5
1 2 3 4 5
1 + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 + k
,
1 2 3 4 5
i
2
i
3
i
4
i
5
1
=
1 2 3 4 5
1 + k i
2
+ k i
3
+ k i
4
+ k i
5
+ k
k = 1, 2, 3, 4
i
2
= 1 + k, i
3
= i
2
+ k, i
4
= i
3
+ k, i
5
= i
4
+ k, 1 = i
5
+ k.
k = 1 i
2
= 2, i
3
= 3, i
4
= 4, i
5
= 5, i
1
= 1 x = (1)
k = 2 i
2
= 3, i
3
= 5, i
4
= 2, i
5
= 4, i
1
= 1 x = (2354)
k = 3 i
2
= 4, i
3
= 2, i
4
= 5, i
5
= 3, i
1
= 1 x = (2453)
k = 4 i
2
= 5, i
3
= 4, i
4
= 3, i
5
= 2, i
1
= 1 x = (25)(34)
G S
5
C
5
= {c
i
|i = 0, ..., 4}
B
5
= {c
i
t
j
|i = 0, ..., 4, j = 0, 1}
B
0
5
= {c
i
s
j
|i = 0, ..., 4, j = 0, ..., 3}
c = (12345), s = (2354), t = s
2
= (25)(34)
G G
0
G/G
0
[a, b] = aba
−1
b
−1
, a, b ∈ G
G S
5
C
5
C
5
G
a ∈ (G \ C
5
)
s, s
3
t = s
2
a = t
B
5
= {c
i
t
j
|i = 0, ..., 4, j = 0, 1} C
5
∩hti = (1)
G B
5
G
a t
s s
3
s
3
G s (= (s
3
)
3
)
G B
0
5
⊆ G G B
0
5
s
k
B
0
5
G = B
0
5
C
5
∩ hsi = (1) 
Òàê êàê                                                                                        
                                       1            2            3       4              5
                       ck =                                                                         ,
                                      1+k          2+k          3+k     4+k            5+k
òî íàì íóæíî ïîäîáðàòü im , m = 2, 3, 4, 5 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî
                                                                                            
                             1    2       3    4       5        1 2        3      4      5
                                                                                                   =
                             2    3       4    5       1        1 i2       i3     i4     i5
                                                                                                           
                1 2     3        4        5             1          2        3             4              5
                                                                                                                  ,
                1 i2    i3       i4       i5           1+k        2+k      3+k           4+k            5+k
ò.å.
                                                                                                                   
           1     2     3     4        5                 1            2             3             4          5
                                               =
           i2    i3    i4    i5       1                1+k        i2 + k        i3 + k        i4 + k     i5 + k

äëÿ êàæäîãî k = 1, 2, 3, 4. Îòñþäà èìååì
                i2 = 1 + k, i3 = i2 + k, i4 = i3 + k, i5 = i4 + k, 1 = i5 + k.

Òàêèì îáðàçîì,
ïðè k = 1 èìååì i2 = 2, i3 = 3, i4 = 4, i5 = 5, i1 = 1, ò.å. x = (1);
ïðè k = 2 èìååì i2 = 3, i3 = 5, i4 = 2, i5 = 4, i1 = 1, ò.å. x = (2354);
ïðè k = 3 èìååì i2 = 4, i3 = 2, i4 = 5, i5 = 3, i1 = 1, ò.å. x = (2453);
ïðè k = 4 èìååì i2 = 5, i3 = 4, i4 = 3, i5 = 2, i1 = 1, ò.å. x = (25)(34). 
    Ñëåäñòâèå 3. Âñÿêàÿ òðàíçèòèâíàÿ ïîäãðóïïà G â S5 , ñîäåðæàùàÿ
òîëüêî îäíó öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó ïðÿäêà 5, ñîïðÿæåíà ñ îäíîé èç ñëå-
äóþùèõ òðåõ ïîäãðóïï:
    C5 = {ci | i = 0, ..., 4}  öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà 5,
    B5 = {ci tj | i = 0, ..., 4, j = 0, 1}  ïîëóìåòàöèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà 10,
    B50 = {ci sj | i = 0, ..., 4, j = 0, ..., 3}  ìåòàöèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà 20,
ãäå c = (12345), s = (2354), t = s2 = (25)(34).
    (Ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ ìåòàöèêëè÷åñêîé, åñëè åå êîììóòàíò G0 è ôàêòîð
ãðóïïà G/G0 ãðóïïû öèêëè÷åñêèå. Êîììóòàíò  ïîäãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ
âñåìè êîììóòàòîðàìè [a, b] = aba−1 b−1 , a, b ∈ G.)
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G  òðàíçèòèâíàÿ ãðóïïà â S5 è C5 åå åäèí-
ñòâåííàÿ öèêëè÷åñêàÿ 5-ïîäãðóïïà. Åñëè C5 íå ñîâïàäàåò ñ G, òî ïî ëåììå
4 ñóùåñòâóåò ýëåìåíò a ∈ (G \ C5 ), êîòîðûé ïåðåâîäèò 1 â ñåáÿ, è, ñëå-
äîâàòåëüíî, ñîâïàäàþùèé ñ s, s3 èëè c t = s2 . Åñëè a = t, òî ïî ëåììå 5
B5 = {ci tj | i = 0, ..., 4, j = 0, 1}  ïîäãðóïïà ïîðÿäêà 10 (ò.ê. C5 ∩ hti = (1))
ëåæèò â G. Åñëè B5 íå ñîâïàäàåò ñ G, òî îïÿòü ïî ëåììå 4 äîëæåí ñóùå-
ñòâîâàòü ýëåìåíò a îòëè÷íûé îò t è óäîâëåòâîðÿþùèé òåì æå óñëîâèÿì,
ò.å. ëèáî s, ëèáî s3 . Îäíàêî, åñëè s3 ëåæèò â G, òî è s (= (s3 )3 ) ëåæèò â
G. Ïîýòîìó B50 ⊆ G. Ïðè ýòîì äðóãèõ ýëåìåíòîâ â G, íå ëåæàùèõ â B50 íåò
(ò.ê. åñëè áû òàêèå ýëåìåíòû áûëè, òî ñðåäè íèõ áûë áû è ïî êðàéíåé ìåðå
îäèí èç sk , à îíè âñå ëåæàò â B50 ), ò.å. â ýòîì ñëó÷àå G = B50 . Ïîðÿäîê ýòîé
ãðóïïû ðàâåí 20, ò.ê. C5 ∩ hsi = (1). 

                                                             30

Страницы