Дискретная математика. Теория чисел. Ерош И.Л. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

13
Пусть на множестве U с элементами a, b, c, …задана бинарная опе-
рация “*” так, чтобы множество было замкнуто относительно этой
операции. Кроме того, пусть на множестве с бинарной операцией вы-
полняется набор аксиом:
– Ассоциативности: для любых элементов множества результат
применения операции * к трем (или большему) числу элементов не за-
висит от порядка расстановки скобок, т. е. a*b*c = (a*b)*c = a*(b*c).
– Наличие в множестве нейтрального элемента: в множестве U
имеется элемент e такой, что a*e = e*a = a.
– Наличие обратного элемента: для любого элемента a множе-
ства U существует элемент условно обозначаемый a
–1
и называемый
обратным к a элементом, такой, что a * a
–1
= a
–1
* a = e.
Если на множестве с операцией выполнены все три аксиомы, то пара
(U, *) называется группой. Если выполнены только две первые аксио-
мы, то пара ( U, *) называется полугруппой с единицей. Поскольку мы
будем рассматривать только полугруппы с единицей, мы их будем на-
зывать просто полугруппами.
Возможно выполнение и 4-й аксиомы, которая называется аксиомой
коммутативности : для любой пары элементов, например, a и b мно-
жества U справедливо равенство a * b = b * a. При выполнении всех 4-x
аксиом пара ( U, *) называется коммутативной (или абелевой) группой.
Пусть на множестве U заданы две операции типа сложения и типа
умножения. Запишем это так: (U, “+”, “*”).
Если пара (U, +) – коммутативная группа с нейтральным элементом
e = 0, а пара (U/0, *) – полугруппа, где U/0 обозначает множество с
“выколотым” нулем, то тройка (U, “+”, “*”) – кольцо.
Пусть на множестве U заданы две операции типа сложения и типа
умножения: (U, “+”, “*”).
Если пара (U, +) – коммутативная группа с нейтральным элементом
e =0, а пара (U/0, *) –группа, то тройка (U, “+”, “*”) –поле.
Пример. Пусть U содержит элементы 0, 1, 2, 3, 4; операция типа
сложения – сложение по модулю 5; операция типа умножения – умно-
жение по модулю 5. Тогда тройка (U, ⊕ mod 5, ⊗ mod 5) есть поле.
Можно показать, что такое числовое конечное поле (поле с конеч-
ным числом элементов) существует только при операциях сложения и
умножения по модулю p, где p – простое число. Такие поля называются
числовыми конечными полями Галуа и обозначаются GF(p) или F(p).

Страницы