Составители:
Рубрика:
14
Примеры
1. Построить конечные поля F(2), F(3), F(7). Для решения этих при-
меров указать все элементы множества U, найти нейтральные и обрат-
ные элементы для групп по сложению и умножению с соответствую-
щим модулем.
2. Показать, что не существует полей F(6), F(12), F(15).
Поля Галуа можно построить в совершенно другой форме, а именно
как поля многочленов по модулю некоторого неприводимого многочле-
на над числовым полем F (p). В этом случае порядок поля (число его
элементов) равен p
h
, где p – простое; h– целое.
Пусть F(p) – числовое поле Галуа порядка p. Рассмотрим множе-
ство многочленов вида:
f (X) = a
0
+ a
1
X + a
2
X
2
+ … + a
k
X
k
, где a
i
∈ F(p), i = 0, 1, 2, 3…, k.(1)
Таким образом, коэффициенты принимают значения из F(p), опера-
ции сложения и умножения чисел выполняются по mod p. Если a
k
≠
0, то
многочлен f (X) имеет степень k. Множество всех многочленов, имею-
щих степень k и меньше будем обозначать F
(k)
[X].
Введем операции сложения и умножения многочленов над полем F(p)
следующим образом. Пусть f (X) = ∑f
i
X
i
и g (X) = ∑g
i
X
i
. Тогда
() () ( )
;
i
ii
i
fX gX f gX
+=+
∑
0
()() .
i
i
iij
ij
fXgX fg X
−
=
=
∑∑
Например, пусть f (X) = f
0
+f
1
X; g(X) = g
0
+ g
1
X + g
2
X
2
.
Тогда: f (X) + g(X) = ( f
0
+g
0
) + ( f
1
+g
1
) X + g
2
X
2
;
f (X) * g(X) = (f
0
g
0
) + ( f
0
g
1
+f
1
g
0
) X + ( f
1
g
1
+f
0
g
2
) X
2
+ f
1
g
2
X
3
.
Из примера видно, что при сложении степень результирующего мно-
гочлена равна максимальной степени слагаемых, а при умножении –
сумме степеней перемножаемых многочленов.
Упражнения
Сложить и перемножить следующие пары многочленов:
а) f(X) = f
0
+f
1
X + f
2
X
2
; g(X) = g
0
+ g
1
X + g
3
X
3
.
б) f(X) = f
1
X + f
2
X
2
+ f
5
X
5
; g(X) = g
0
+ g
1
X
1
+ g
4
X
4
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
