Составители:
Рубрика:
16
Найдем неприводимые многочлены некоторых малых степеней над
полем F(2).
Имеется два многочлена первой степени: X ⊕1 и X. По определению
они оба считаются неприводимыми.
Многочлен второй степени вида X
2
⊕ aX ⊕ b будет неприводимым
над полем F(2), если он не будет делиться ни на какой неприводимый
многочлен первой степени, т.е. ни на X⊕1, ни на X. А это означает, что
он не должен иметь корней в поле F(2). Таким образом: F(0) = b ≠ 0,
F(1) = 1 ⊕ a ⊕ b ≠ 0. Откуда получаем, что a = 1, b=1, а сам неприводи-
мый многочлен второго порядка имеет вид: X
2
⊕ X ⊕ 1.
Многочлен третьей степени имеет общий вид: X
3
⊕ aX
2
⊕ bX ⊕ c.
Он будет неприводимым в поле F(2), если не будет делиться ни на один
из неприводимых многочленов первой степени (проверять делимость
на многочлен второй степени не требуется). Таким образом, должны
выполняться условия: F(0) = c = 1, F(1) = 1 ⊕ a ⊕ b ⊕ 1 = 1. Следова-
тельно, либо a, либо b должны равняться 1, но не оба вместе, поэтому
существуют два неприводимых многочлена третьей степени: X
3
⊕X
2
⊕1
и X
3
⊕ X ⊕ 1.
Приведем небольшую таблицу всех неприводимых многочленов над
полем F(2), степень которых не превышает 4.
ÿàíüëàìèñêàÌ
àíåë÷îãîíìüíåïåòñ
)2(Fåëîïâûíåë÷îãîíìåûìèäîâèðïåÍ
1 :⊕ ;1 :.
2 :
2
⊕:⊕ .1
3 :
3
⊕:
2
⊕ ;1 :
3
⊕:⊕ .1
4 :
4
⊕:
3
⊕:
2
⊕:⊕ ;1 :
4
⊕:⊕ ;1 :
4
⊕:
3
⊕1
Возьмем один из неприводимых многочленов степени 2 над число-
вым полем F(2), например X
2
⊕X⊕1. При делении на этот многочлен
все многочлены будут давать остатки (вычеты по модулю этого непри-
водимого многочлена). Приведем все виды остатков:{(0), (1), (X), (X
⊕1)}. Каждый из этих остатков образует класс вычетов по модулю не-
приводимого многочлена, а их совокупность с операциями сложения и
умножения по модулю неприводимого многочлена образует поле. По-
рядок этого поля (число элементов) в общем случае может быть равен
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
