Составители:
Рубрика:
18
Пусть, например, p = 3 , h = 2 и α удовлетворяет уравнению x
2
– x – 1 =
=0. Элементы поля F(3
2
) можно выразить как
0, 1, 2, α, α + 1, α + 2, 2α, 2α + 1, 2α + 2.
В вычислениях понижение степеней производится с использовани-
ем равенства α
2
= α + 1. Например, (2α + 1)(α+ 2) = 2α
2
+ α+ 4α+ 2 =
=2(α + 1) + 5α + 2 = 7α + 4 = α + 1.
Элемент β ≠ 0 поля F(p
h
) называется образующей F
*
(p
h
) мульти-
пликативной группы ненулевых элементов поля F(p
h
), если степени β
i
,
i = 1, 2, 3, ..., p
h
– 1 пробегают все ненулевые элементы поля F(p
h
).
Образующая может рассматриваться как основание log. Такие лога-
рифмы называются дискретными логарифмами. Рассмотрим, например,
все 8 степеней (кроме нулевой) корня α в приведенном примере и запи-
шем результат в виде таблицы:
ι1 2 3 45 6 78
α
ι
α α+1 2α+1 2 2α 2α+2 α+2 1
Из таблицы видно, что α является образующей. Эта таблица может
быть представлена как таблица дискретных логарифмов. Для этого в
верхней строке запишем упорядоченные элементы поля, а в нижней –
значения степеней образующего элемента, при которых получаем дан-
ный элемент поля:
y12
α1+α2+α
2α 2 1+α 2 2+α
gol
α
y8 4 1 2 7 5 3 6
Считается, что вычисление дискретных логарифмов является труд-
ной задачей, как и задача факторизации (разложения на множители),
что является существенным в криптосистемах с открытым распреде-
лением ключей. Таблица логарифмов может использоваться для вы-
полнения умножения и деления элементов поля. Заметим, что операции
выполняются по модулю p
h
– 1, в данном примере по модулю 3
2
– 1 = 8.
Для примера
log ((α + 2)(2α + 1) = log(α + 2) + log(2α + 1) = 7 + 3 = 10 ≡ 2 mod 8,
что соответствует элементу α + 1.
log ((α + 1)/( 2α + 2)) = 2 – 6 = – 4 ≡ 4 mod 8,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
