Составители:
Рубрика:
19
что соответствует элементу 2.
Можно проверить, что кроме элемента α образующими β также яв-
ляются элементы 2α + 1, α + 2 и 2α. Если s = p
h
– 1 есть наименьшая,
положительная степень, удовлетворяющая уравнению β
s
= 1, то β явля-
ется образующей. Поэтому число образующих элементов поля равно
ϕ(p
h
–1), где ϕ – функция Эйлера. Для нашего примера ϕ (8) = 4.
Упражнения
Найдите количество образующих элементов для полей Галуа: F(3
4
),
F(5
2
), F(7
2
), F(11
5
), F(13
4
).
1.12. Квадратичные вычеты. Символ Лежандра.
Символ Якоби
Рассмотрим поле Галуа F(p
h
) при p >2 и h – целом. Исключим из
элементов поля нулевой элемент, а оставшееся множество обозначим
F*(p
h
). Если некоторый элемент a ∈ F*(p
h
) есть квадрат некоторого
элемента x ∈ F*(p
h
), то a называют квадратичным вычетом, если же
такого элемента x не найдется в F*(p
h
), то a называют квадратичным
невычетом.
Пример. Рассмотрим поле F(3
2
). Все элементы поля можно пред-
ставить в виде: 0, 1, 2, α, α + 1, α + 2, 2α, 2α + 1, 2α + 2, где α – корень
некоторого неприводимого полинома степени 2 над полем F(3). Возьмем
в качестве такого полинома P(X) = X
2
– X – 1. Тогда P(α) = α
2
– α – 1 = 0.
При выполнении вычислений будем производить замену: α
2
= α+1. F*(3
2
)
будет содержать все те же элементы кроме элемента 0, а именно: 1, 2,
α, α + 1, α + 2, 2α, 2α + 1, 2α + 2. Будем последовательно возводить в
квадрат все элементы поля (кроме нулевого) и выявлять квадратичные
вычеты:
1
2
= 1; 2
2
= 1; α
2
= α+1; (α + 1)
2
= α
2
+ 2α+1 = α + 1 + 2α +1 = 2;
(α + 2)
2
= α
2
+ 4α+4 = (α + 1) + 4α+4 = 2α + 2; (2α)
2
= 4α
2
= (α + 1);
(2α + 1)
2
= 4α
2
+ 4α + 1 = α+ 1 + 4α + 1 = 2α + 2; (2α + 2)
2
=
=4α
2
+ 8α + 4 = α
2
+ 2α + 1 = 2.
Таким образом, элементы 1, 2, α + 1 и 2α + 2 являются квадратич-
ными вычетами, а остальные элементы α, α + 2, 2α и 2α + 1– квадра-
тичными невычетами.
Упражнения
Найдите квадратичные вычеты и квадратичные невычеты в полях
Галуа: F(3
3
), F(5
2
).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
