Составители:
Рубрика:
17
p
h
, где p – простое; h – целое. В приведенном примере p = 2, h= 2 и
порядок поля равен 4.
Упражнение
Постройте поля Галуа F(2
3
), F (2
4
) для пяти полиномов (многочле-
нов), взятых из таблицы неприводимых полиномов.
Элемент поля α такой, что F(α) = 0 называется корнем многочлена f (X).
В этом случае говорят, что уравнение f (X) имеет корень в поле F(p).
Упражнения
1. Найдите корни многочлена X
2
+ X + 1 в полях F(2), F(3), F(5), F(7).
Покажем, как это сделать для поля F (5). В уравнение
X
2
+ X + 1 = 0 (3)
будем последовательно подставлять значения элементов поля: 0, 1, 2, 3, 4.
В результате получим:
0
2
+ 0 + 1 ≡ 1 mod 5;
1
2
+ 1 + 1 ≡ 3 mod 5;
2
2
+ 2 + 1 ≡ 2 mod 5;
3
2
+ 3 + 1 ≡ 3 mod 5;
4
2
+ 4 + 1 ≡ 1 mod 5;
т. е. этот многочлен не имеет корней в поле F(5). Однако он имеет корни
в поле F(7). Действительно, при X = 2 и X
2
= 4 левая часть уравнения (3)
обращается в 0.
2. Найдите корни многочлена X
4
+X
3
+1 в тех же полях, что и в при-
мере 1.
Конечное поле F(p
h
) содержит p
h
элементов. Основное поле F(p) ,
которое является подполем поля F(p
h
), содержит p элементов (0, 1, 2, 3,
..., p –1) и 2 операции: ⊕ mod p и ⊗ mod p.
Элемент α называется алгебраическим степени h над полем F(p),
если и только если α удовлетворяет в F(p) уравнению: P(x) = 0, где P(x)
– многочлен степени h, но не удовлетворяет никакому уравнению с мно-
гочленом меньшей степени (α в этом случае может быть комплексным
числом). Это влечет за собой неприводимость многочлена P(x). Все p
h
элементов поля F(p
h
) могут быть представлены в виде
∑ c
j
α
i
,
где 0 ≤ c
j
≤ p–1; 0 ≤ i
≤ h–1.
При вычислениях степень α
s
, где s ≥ h заменяется на меньшую в
соответствии с уравнением P(α) = 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
