Составители:
Рубрика:
15
в) f(X) = f
1
X + f
2
X
2
+ X
5
; g(X) = g
0
+ g
1
X
3
+ g
2
X
4
.
А теперь сделать то же самое, если указано числовое поле (модуль):
г) f (X) = 2X + 3 X
2
+ X
5
; g(X) = 4
+ 2X
3
+ X
4
, p = 7.
д) f (X) = 3X + 2 X
2
+ 2X
5
; g(X) = 2
+ 4X
1
+ 3X
4
, p = 5.
Если рассматривать многочлены всех возможных степеней F(X), то
с такими операциями сложения и умножения множество многочленов
образует кольцо.
Для любых двух многочленов f(X) и g(X) существует и притом един-
ственные многочлены a(X) и r(X), такие, что
f(X) = a(X)g(X) + r(X),
где степень g > степени r.
Переходя к сравнениям многочленов, получаем:
f(X) ≡ r(X) mod (g(X)) (2)
Деление многочленов производится так же, как и деление целых чисел.
Следует только учитывать, что все операции выполняются в поле F(p).
Например, разделим многочлен g(X) = 1 + X + X
2
на f (X) = 1 + X в
поле F(2):
(1 + X + X
2
) (1 + X)
X + X
2
1
X
В результате получим: (1 + X + X
2
): (1 + X) = X, при этом в остатке
будет 1. Для деления удобнее записывать многочлены в обратном по-
рядке, начиная со старшей степени. При вычислении в поле F(2) опера-
ция сложения имеет специальное обозначение “⊕ “и называется “сло-
жение по модулю 2 “
Упражнения
Найти остатки от деления многочленов:
1. X
5
⊕ X
2
⊕ X на X
3
⊕ X
2
⊕ X ⊕1 в поле F(2)(0).
2. 2X
4
+ X
2
+ 2 на X
3
+2 X
2
+2 X +1 в поле F(3) (2 X
2
).
Если в (2) остаток r (X) = 0, то говорят, что g (X) делит f (X). Если в
F (X) нет ни одного многочлена степени большей 0, который бы делил
f (X) без остатка, за исключением скалярных кратных f (X), т. е. много-
членов вида: bf (X), где b∈ F(p), то многочлен f (X) называется непри-
водимым.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
