Дискретная математика. Ерош И.Л - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

28
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ
ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Теория групп является очень востребованным математическим раз
делом. Само понятие «группа» является основным при определении
других математических моделей, в частности, колец и полей, а также
линейных векторных пространств и линейных алгебр. Группы преоб
разований позволяют описывать различные изменения, которые про
исходят с объектами исследований. Линейные представления групп
позволяют связать два, казалось бы, совершенно различных раздела
дискретной математики: групповые преобразования и дискретный спек
тральный анализ.
Теория групп широко применяется при решении различных задач
распознавания образов, а с помощью линейных представлений можно
построить характеристики объектов, инвариантные к соответствую
щим преобразованиям, т. е. характеристики, не зависящие от некото
рых изменений, которые происходят с объектами исследования.
3.1. Группы и другие математические модели
3.1.1. Определение и основные свойства групп
Пусть заданы множество U элементов x
1
, x
2
, x
3
... (x
i
Ì U) и неко
торая бинарная операция ·. Операция · ставит в соответствие любым
двум элементам x
i
и x
j
множества U некоторый третий элемент x
k
из
этого же множества, т. е. x
i
· x
j
= x
k
; x
i
, x
j
, x
k
Ì U. В этом случае гово
рят, что множество U замкнуто относительно операции ·.
Множество U с бинарной операцией · называют группой и обозна
чают (U, ·), если выполняются аксиомы:
1) ассоциативности: для любых трех элементов множества U x
i
· x
j
· x
k
=
= (x
i
· x
j
) · x
k
= x
i
· (x
j
· x
k
). Аксиома ассоциативности «разрешает»
при выполнении бинарной операции · над тремя или большим числом
элементов множества U расставлять скобки по своему усмотрению, так
как результат при этом не меняется;
2) наличия в множестве U нейтрального элемента e, такого, что для
любого элемента x множества U выполняется: x · e = e · x = x. Для чис
ловых множеств в качестве нейтрального элемента e может выступать 0
(при операциях типа сложения) или 1 (при операциях типа умножения);
3) наличия обратного элемента: для любого элемента x множества
U существует элемент, условно обозначаемый x
–1
, принадлежащий U

Страницы