Дискретная математика. Ерош И.Л - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

30
обратный: 1
–1
= 4, 2
–1
= 3, 3
–1
= 2, 4
–1
= 1. Эта группа коммутативна и
определена для любого множества чисел вида (0, 1, 2,..., n–1, Å mod n).
4. Исключим из множества N в предыдущем примере 0 и запишем
это в виде N/0 = (1, 2, 3, 4). Введем на полученном множестве N/0 опе
рацию умножения по модулю 5. Так как 5 – простое число, то выпол
няются все аксиомы группы, что легко проверяется. Так, замкнутость
следует из того, что произведение чисел, меньших простого модуля, не
кратна ему. Ассоциативность легко доказывается при переходе от срав
нения к равенствам. Нейтральным по умножению элементом является
1. Для каждого элемента можно найти обратный: 1
–1
= 1, 2
–1
= 3, 3
–1
=
= 2, 4
–1
= 4. Обобщая приведенный пример, можно утверждать, что для
любого простого числа p пара (U = 1, 2, 3,..., p–1;
1
mod p) образует
коммутативную (абелеву) группу.
5. Пусть заданы три элемента a, b, c. Рассмотрим всевозможные пе
рестановки h
i
, i = 0, 1, 2... 5 из этих элементов и запишем их в виде
0
,
abc
h
abc
12
3
45
67
1
,
abb
h
acc
12
3
45
67
2
,
abc
h
bac
12
3
45
67
3
,
abc
h
bca
12
3
45
67
4
,
abc
h
cab
12
3
45
67
5
,
abc
h
cba
12
3
45
67
где верхняя строка в каждой перестановке указывает порядок элемен
тов до преобразования, а нижняя строка – после преобразования.
Множество этих перестановок образует некоммутативную группу.
Бинарная операция в данном случае представляет собой операцию пос
ледовательного применения (умножения) перестановок, что записыва
ется h
i
h
j
. Легко проверяется, что h
i
h
0
= h
0
h
i
= h
i
для любых i = 1, 2,
3...5. Обратный элемент может быть получен путем перестановки
строк и упорядочивания столбцов так, чтобы восстановить исходный
порядок элементов в верхней строке. Например:
1
3
h
=
1
abc
bca
12
34
56
=
bca
abc
12
34
56
=
abc
cab
12
34
56
= h
4
, h
3
h
4
= h
4
h
3
= h
0
.
3.1.2. Группы преобразований
Рассмотрим группы, элементами которых являются некоторые пре
образования. В последнем примере подподразд. 3.1.1 каждый элемент
группы h
i
выполнял некоторые перестановки точек a, b, c. Так, эле
мент h
3
переставляет (преобразует) пары: a ® b, b ® c, c ® a.
В общем случае преобразованием g множества U называют взаимно
однозначное отображение этого множества на себя. В качестве приме

Страницы