Дискретная математика. Ерош И.Л - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

31
ра возьмем круг, вырезанный из картона, и будем вращать его вокруг
неподвижного центра O. Заметим положения некоторых точек до и
после поворота. Каждый произвольный поворот меняет положение то
чек. Можно говорить, что поворот осуществляет преобразование на
множестве точек круга, при этом такое преобразование является вза
имно однозначным.
Пусть задано множество U с элементами x Î U. Рассмотрим некото
рое преобразование g элементов множества U. Образ элемента x из U
(результат преобразования) обозначим gx. Если совокупность преоб
разований g Î U образует группу преобразований множества U, то каж
дому элементу g группы G ставится в соответствие преобразование, пе
реводящее элемент x в gx, т. е. x ® gx Î U. Нейтральному элементу
группы e Î U ставится в соответствие преобразование x ® ex = x.
Для любых двух элементов g
1
и g
2
из G выполняется равенство (по
определению)
(g
1
g
2
)x = g
1
(g
2
x). (3.1)
Примерами групп преобразований могут служить:
– группа всех перестановок из n элементов;
– группа вращений плоскости вокруг неподвижного центра;
– группа движений плоскости (смещения вдоль координатных осей
и вращение вокруг неподвижного центра);
– группы преобразований точек плоскости уравнениями Ли и т. п.
Во всех этих примерах бинарной операцией · является операция
последовательного выполнения преобразований, т. е. в выражении
(3.1) сначала над элементом x выполняется преобразование g
2
, а за
тем над полученным результатом g
2
x выполняется преобразование g
1
.
3.1.3. Циклические группы
Пусть g – некоторый элемент группы G конечного порядка. Заме
тим, что порядком группы называют число ее элементов. Так, группа
перестановок трех элементов a, b, c, рассмотренная в п. 5 подподразд.
3.1.1, имеет порядок 6. Группа вращений круга имеет бесконечный
континуальный порядок. Группа вращений правильного nугольника,
при которых происходит самосовмещение вершин, имеет конечный по
рядок n.
Образуем произведения вида gg = g
2
= g
1
, ggg = g
3
= g
2
, gggg = g
4
= g
3
.
Поскольку число элементов группы конечно, найдется такое значение
k, что g
k
= g
l
, где l < k, откуда g
k–l
= e. Обозначим k – l = n, тогда g
n
= e.
Набор элементов e, g
1
, g
2
,..., g
n–1
образует циклическую группу. Дей
ствительно, ассоциативность обеспечивается ассоциативностью исход

Страницы