Дискретная математика. Ерош И.Л - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

33
Будем возводить ее последовательно в степени 2, 3, 4, … При возве
дении в 12ю степень получим единичную матрицу
10000
01000
00100 .
00010
00001
12
34
34
34
5
34
34
34
6 7
E
Множество матриц {E, A, A
2
, A
3
, …, A
11
} образует циклическую
(коммутативную) группу.
3.1.4. Математические модели
Кольца
Пусть на множестве U заданы две операции: типа сложения и типа
умножения. Запишем это так: (U, «+», «·»). Пусть (U, «+») – комму
тативная группа с нейтральным элементом e = 0, а (U/0, «·») образует
полугруппу, где U/0 обозначает множество U с «выколотым» нулем.
Тогда множество U с этими двумя операциями «+» и «·» есть кольцо.
Примеры.
1. Пусть N – множество целых чисел (положительных, отрицатель
ных и 0). Множество N с операцией «обычного» сложения образует
коммутативную группу с нейтральным элементом по сложению 0. То
же множество N с «выколотым» (исключенным) нулем с операцией ум
ножения образует полугруппу (так как не для всех элементов множе
ства N существуют обратные элементы по умножению). Поэтому (N,
+, ´) – кольцо, которое называют кольцом целых чисел.
2. Возьмем множество U полиномов степени не выше n вида R(x) =
= a
n
x
n
+ a
n–1
x
n–1
+... + a
1
x
1
+ a
0
, Q(x) = b
n
x
n
+ b
n–1
x
n–1
+... + b
1
x
1
+ b
0
,
где a
i
, b
j
– произвольные действительные числа. Определим на множе
стве полиномов операцию сложения: R(x) + Q(x) = (a
n
+b
n
)x
n
+ (a
n–1
+
+b
n–1
)x
n–1
+ +...+(a
1
+b
1
)x
1
+(a
0
+b
0
).
Легко убедиться, что при такой операции сложения множество по
линомов образует коммутативную группу по сложению с нейтральным
полиномом e = 0. Исключим нейтральный полином из множества U и
введем на оставшемся множестве U/0 операцию умножения. Ее нельзя
ввести «естественным» образом, т. е. в виде почленного произведения
полиномов, так как в этом случае степень результирующего полинома
может оказаться выше n. Для того чтобы этого не произошло, введем
операцию умножения полиномов так, чтобы степени полиномов при

Страницы