Дискретная математика. Ерош И.Л - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

29
и называемый обратным к x элементом, такой, что x · x
–1
= x
–1
· x = e,
т. е. произведение прямого и обратного к нему элемента дает нейтраль
ный элемент.
Если кроме того для любых элементов x
i
и x
j
множества U выпол
няется: x
i
· x
j
= x
j
· x
i
, то группа называется коммутативной или абе+
левой.
В некоторых случаях в множестве U с бинарной операцией · выпол
няется только первая аксиома (ассоциативности). В этом случае пару
(U, ·) называют полугруппой. Если при этом выполняется и вторая ак
сиома (аксиома о наличии в U нейтрального элемента e), то пару (U, ·)
называют полугруппой с единицей (точнее было бы говорить о полу
группе с нейтральным элементом). В дальнейшем для краткости мы
будем называть полугруппу с единицей просто полугруппой, а при не
выполнении второй аксиомы это особо оговаривать.
Рассмотрим некоторые примеры групп и полугрупп.
1. Пусть задано U = N – множество целых (положительных и от
рицательных чисел, включая 0) и бинарная операция «обычного»
сложения «+». Множество N замкнуто относительно операции сло
жения. Легко проверяется выполнимость всех трех аксиом: ассоци
ативности, наличия в множестве U нейтрального элемента и нали
чия вместе с любым элементом множества элемента, обратного к
нему. Кроме того, легко проверяется четвертая (не обязательная для
группы) аксиома коммутативности. Таким образом, множество N с
бинарной операцией сложения является коммутативной (абелевой)
группой.
2. Пусть задано U = N – множество целых чисел (как в предыдущем
примере) и бинарная операция умножения. Множество N замкнуто от
носительно операции умножения, так как произведение любых двух
целых чисел есть число целое. Ассоциативность выполняется, так как
она выполняется в более «широком» множестве действительных чи
сел. Нейтральным элементом по умножению является 1. А обратные
элементы существуют не для всех элементов (только для 1 существует
обратный элемент по умножению, равный 1). Следовательно, множе
ство целых чисел с операцией умножения образует полугруппу.
3. Пусть заданы числа 0, 1, 2, 3, 4 и операция сложения этих чи
сел по модулю 5, что будем записывать так: N (0, 1, 2, 3, 4), Åmod5.
Пара (N, Åmod5) образует коммутативную группу. Действительно,
складывая любые числа множества N и беря результат по модулю
(т. е. находя наименьшее положительное число, не превосходящее 4),
мы не выйдем за пределы множества N. Так, например, 2Å4 = 1mod5;
2Å3 = 0mod5 и т. п. Легко проверяется аксиома ассоциативности. Ней
тральным элементом является 0, и для каждого элемента существует

Страницы