Составители:
Рубрика:
36
пу относительно операции сложения и выполняются аксиомы дистри
бутивности, мы можем считать, что построили линейное nмерное век
торное пространство.
Если считать, что все компоненты nмерного вектора (c
1
, c
2
, c
3
,...,
c
n
) есть комплексные числа, то, введя аналогичным образом операции
сложения векторов и умножения скаляра на вектор и проверив выпол
нимость всех аксиом, получим линейное nмерное комплекснозначное
векторное пространство.
2. Рассмотрим всевозможные непрерывные функции с интегрируе
мым квадратом, заданные на интервале [a, b]. Введем операцию сло
жения двух функций F
1
(x) + F
2
(x) = F
3
(x) так, что значение функции
F
3
в каждой точке интервала равно сумме значений функций F
1
и F
2
в этой же точке. Каждую функцию условно можно назвать вектором,
тогда относительно операции сложения множество непрерывных фун
кций на интервале [a, b] образует коммутативную группу. Введя опе
рацию масштабирования функции (умножения скаляра на функцию),
мы можем убедиться в том, что все аксиомы дистрибутивности будут
выполняться. Таким образом, мы получили линейное векторное про
странство функций с интегрируемым квадратом, заданных на интервале
[a, b]. Это пространство будет бесконечномерным (континуальным).
Линейные алгебры
Возьмем линейное векторное пространство L и введем операцию ум
ножения векторов друг на друга так, чтобы множество векторов обра
зовывало относительно операции умножения полугруппу или группу.
В первом случае мы получаем алгебру без деления, во втором – алгебру
с делением.
Примеры.
1. Взяв множество действительных чисел и рассматривая их как со
вокупность одномерных векторов с операциями сложения векторов и
умножения скаляра на вектор, мы получим одномерное линейное век
торное пространство. Введя операцию умножения одномерных векто
ров друг на друга и убедившись в том, что относительно такой опера
ции множество одномерных векторов образует коммутативную груп
пу, можно считать, что мы построили линейную алгебру действитель
ных чисел с делением.
2. Рассмотрим объекты вида a
0
+ ia
1
, где a
0
и a
1
принадлежат полю
действительных чисел, i
2
= –1. Такие объекты называют комплексны
ми числами. Введем операцию сложения комплексных чисел по пра
вилу (a
0
+ ia
1
) + (b
0
+ ib
1
) = (a
0
+ b
0
) + i(a
1
+ b
1
). То есть в результате
сложения комплексных чисел получаем комплексное число (замкну
тость). Легко проверяются аксиомы группы по сложению комплексных
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
