Дискретная математика. Ерош И.Л - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38
3.1.5. Задачи для контрольной
Группы и полугруппы
Определить, к какой математической модели (группе или полугруп
пе) относятся следующие множества с заданными операциями (либо
не относятся ни к одной из перечисленных).
1. U = R – множество действительных чисел; · – бинарная опера
ция сложения.
2. U = R; · – бинарная операция умножения.
3. U = R/0 – множество действительных чисел с «выколотым» ну
лем, т. е. из множества действительных чисел исключено только чис
ло 0, а остальные числа, даже сколь угодно малые, остались; · – би
нарная операция умножения.
4. U = C – множество комплексных чисел; · – бинарная операция
сложения.
5. U = C; · – бинарная операция умножения.
6. U = C/0; · – бинарная операция умножения.
7. U = N
5
– конечное множество, состоящее из элементов 0, 1, 2, 3,
4; · – бинарная операция сложения по модулю 5.
8. U = N
5
; · – бинарная операция умножения по модулю 5.
9. U = N
5
/0 – конечное множество с «выколотым» нулем, т. е. множе
ство, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4; · – бинарная операция умноже
ния по модулю 5. Пояснение: операции сложения или умножения по мо
дулю M выполняются следующим образом: сначала выполняется опера
ция «обычного» сложения или умножения, а затем результат делится на
M и берется наименьший положительный остаток от деления. Например,
2 + 4 = 6 º 1 mod5; 3 · 4 = 12 º 2 mod5. Здесь использованы обозначения,
принятые в теории чисел, а именно знак сравнения: a º bmodM означает,
что a и b имеют одинаковые остатки при делении на M.
10. U = N
М
– конечное множество, состоящее из целых чисел от 0
до M–1; · – бинарная операция сложения по модулю M. Постройте
группу (проверить все аксиомы, найти нейтральный элемент по сло
жению e и для каждого элемента – обратный к нему элемент по сложе
нию) для следующих значений M: 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Обобщите по
лученные результаты и постройте группу в общем виде.
11. U = N
M
/0 – те же конечные множества, что и в примерах 10, но
с исключенным 0; · – бинарная операция умножения по модулю M.
Попытайтесь построить группы для M = 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Для
каких значений модулей M будут существовать группы с операцией ум
ножения по модулю? Проверьте выполнимость групповых аксиом и в
случае существования группы найдите обратные элементы. Обобщите
группу с операцией умножения по модулю.

Страницы