Дискретная математика. Ерош И.Л - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

37
чисел. Операция умножения скаляра на комплексное число a(a
0
+ ia
1
) =
= (aa
0
+ iaa
1
). Аксиомы дистрибутивности в этом случае выполняются.
Введем операцию умножения комплексных чисел (a
0
+ ia
1
) · (b
0
+ ib
1
) =
= (a
0
b
0
– a
1
b
1
) + i(a
1
b
0
+ a
0
b
1
). То есть в результате умножения двух
комплексных чисел получаем комплексное число. Кроме того, для лю
бых комплексных чисел кроме 0 + i0 = 0 существует обратный элемент
по умножению. Для того чтобы его найти, введем сопряженное комп
лексное число
001
1
aiaaia1 23. Тогда обратный элемент по умножению
равен (a
0
+ ia
1
)
–1
01
22
01
.
aia
aa
1
2
3
Знаменатель дроби есть квадрат модуля
комплексного числа.
Таким образом, множество комплексных чисел с введенными опе
рациями сложения, умножения на скаляр и умножения комплексных
чисел друг на друга образует линейную алгебру комплексных чисел с
делением.
3. Рассмотрим объекты вида a
0
+ ia
1
+ja
2
+ ka
3
, где a
0
, a
1
, a
2
, a
3
при
надлежат полю действительных чисел; i
2
= j
2
= k
2
= –1, при этом
ij = k, ji = –k;
jk = i, kj = –i;
ki = j, ik = –j.
Такие объекты называют кватернионами. Аналогично операциям
сложения и умножения комплексных чисел вводятся операции сложе
ния и умножения кватернионов. Обратный кватернион по умножению
определяется аналогично обратному комплексному числу:
12
1
012 3
01 2 3
2222
0123
aiajaka
aiajaka
aaaa
33 3
44 4 5
444
.
В результате получаем линейную алгебру кватернионов с делением.
В отличие от линейной алгебры комплексных чисел она является не
коммутативной по умножению.
4. Ранее рассматривались объекты, названные полиномами степе
ни не выше n, и на множестве таких полиномов вводились операции
сложения и умножения. Можно ввести операцию умножения скаляра
на полином в виде умножения скаляра на каждый член полинома, при
этом, как легко убедиться, аксиомы дистрибутивности выполняются.
Однако относительно операции умножения множество полиномов об
разует полугруппу. Следовательно, множество полиномов с такими
операциями образует линейную алгебру полиномов без деления.

Страницы