Методы вычисления интегралов. Файницкий Ю.Л. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1 Интегрирование рациональных функций
Определение. Число
называется кратностью корня многочлена
k
a
()
n
P
x
, если этот многочлен делится на и не делится на
(
k
xa− )
1
()
k
xa
+
−
.
Если
, то корень
a
называется простым, если
1k = 1k
≠
, то кратным.
При разложении рациональной функции на простейшие дроби приходится
определять параметры этих дробей, например, приводя данную сумму к об-
щему знаменателю, записывая равенство некоторых многочленов и составляя
систему линейных уравнений, нередко весьма громоздкую. Можно также по-
лучить систему линейных уравнений для искомых параметров, подставляя в
указанное равенство многочленов различные
значения переменной интегри-
рования. Наиболее эффективен этот метод, если подставлять корни знамена-
теля рассматриваемой функции, в том числе комплексные. Если корни крат-
ные, то система будет содержать число уравнений, недостаточное для опре-
деления всех параметров. Однако в этом случае можно получить дополни-
тельные уравнения, дифференцируя левую и правую части упомянутого
ра-
венства многочленов.
1. Вычислить интеграл
22 2
(2)
d
(1)( 1)
xx
x
xx
−
−+
∫
.
Решение.
Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дро-
бей:
22 2 2 2 2 2
(2)
1
(1)( 1) (1) 1( 1)
xx A B Dx E Fx G
x
xx x x x
−+
=+ + +
−
−+ − + +
+
+
2
.
Приравняем числители после приведения дробей в правой части к общему
знаменателю:
22 22
( 2) ( 1)( 1) ( 1)xx Ax x Bx−=−+++
22
( )(1)( 1)( )(1)Dx E x x Fx G x
+
+− +++−
. (1)
Знаменатель подынтегральной функции имеет корни
1,
. Подставив
в равенство (1), получим:
, i− i
1x =
4

Страницы