Теоретические основы электротехники - 8 стр.

     Вследствие симметрии относительно оси ОХ линии                               Следовательно,
векторного потенциала должны быть окружностями лежащими в
                                                                                                     µ i
                                                                                                                                −π
                                                                                                                                         (
                                                                                                                          R1 2 2 2 sin 2 β − 1 dβ          )
                                                                                                                          R2 ∫π 1 − k 2 sin 2 β
плоскостях, параллельных плоскости контура тока, и имеющими                                    A2 = − 0 1                   k                     =
центры на оси ОХ. Векторный потенциал всюду направлен по                                              8π
                                                                                                                                 2
касательной к этим окружностям, т.е. имеет единственную                                                               π
составляющую А2 = А2х,                                                                          µ i          R1 2 2 sin 2 β − 1
                                                                                                             R2 ∫0 1 − k 2 sin 2 β
                                            µ 0 i1 cos αdl1                                    = 01            k                   dβ .
                                                                                                 2π
                                            4π ∫l
                      A2 = A2α =                            .
                                                      1
                                                       r
                                                                                  Пользуясь тождеством
Так как
                                                                                       2 sin 2 β − 1          1     2−k2                             
                                                                                                                                                       ,
          r = x + R + R − 2 R1 R2 cos α и dl1 = R1 dα ,
                 2         2        2                                                                    =                         − 2 1 − k 2
                                                                                                                                               sin 2
                                                                                                                                                     β
                          1         2
                                                                                       1 − k 2 sin 2 β       k 2  1 − k 2 sin 2 β                     
                                                                                                                                                      
то
                               2π                                                 можем написать:
               µ iR                                   cos αdα
           A2 = 0 1 1
                4π             ∫    x 2 + R12 + R22 − 2 R1 R2 cos α
                                                                      .
                                                                                                     A2 =
                                                                                                             µ 0 i1        R1     2         2 
                                                                                                                                  k − k r − k E  ,
                               0
                                                                                                             2π            R2                   
Этот интеграл приводится                          к   табличным   эллиптическим
                                                                                  где обозначено
интегралам. Положим,                                                                            π                                            π

                          α = π − 2 β , dα = −2dβ ,                                              2
                                                                                                             dβ                              2
                                                                                                                                                                   dβ
                                                                                           K =∫                                 , E=         ∫   1 − k 2 sin 2 β        .
                                        4 R1 R2                                                      1 − k 2 sin 2 β
                                                           =k .
                                                             2                                  0                                            0

                               x 2 + (R1 + R2 )
                                                       2

                                                                                       Величины К и Е представляют собой полные эллиптические
Число k лежит в пределах 0 ≤ k ≤ 1. Значение k = 1 получается                     интегралы первого и второго рода. Они являются функциями
при x = 0 и R1 = R2, т.е. когда контуры сливаются друг с другом.                  модуля k. В приложении 5 дана таблица этих интегралов.
При этом А2 обращается в бесконечность. Однако в                                  Окончательно выражение для векторного потенциала можно
действительности полное совмещение контуров невозможно, так                       представить в виде:
как сечение действительных катушек конечно. Имеем:                                                                              µ 0 i1       R1
                                                                                                                      A2 =                      f (k ) ,
                                                                                                                                2π           R2
                      cos α = − cos 2β = 2 sin 2 β − 1 ;
           r = x 2 + R12 + R 22 − 4 R1 R 2 sin 2 β + 2 R1 R 2 =                   где f(k) — функция только модуля k:
                                                                                                                      2        2
               2 R1 R 2                                                                                      f (k ) =  − k  K − E .
           =                   1 − k sin β .
                                        2     2
                                                                                                                      k        k
                  k

                                             15                                                                                  16