Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
Неопределенный интеграл
Таблица интегралов:
()
∫∫
∫∫
+=⋅+=⋅
+=−≠+
+
=⋅
+
,.4,
ln
.3
,ln.2,1
1
.1
1
CedxeC
a
a
dxa
Cx
x
dx
nC
n
x
dxx
xx
x
x
n
n
∫∫
∫∫
+−=+=
+=⋅+−=⋅
,
sin
.8,
cos
.7
,sincos.6,cossin.5
22
Cctgx
x
dx
Ctgx
x
dx
CxdxxCxdxx
,
1
.10,arcsin.9
22
22
C
a
x
arctg
axa
dx
C
a
x
xa
dx
+⋅=
+
+=
−
∫∫
.ln.12,ln
2
1
.11
2
2
22
Caxx
ax
dx
C
xa
xa
axa
dx
+++=
+
+
−
+
⋅=
−
∫∫
Свойства неопределенного интеграла:
Формула интегрирования по частям :
.
∫∫
⋅−⋅=⋅ duvvudvu
Пример 17. Найти неопределенный интеграл .
cos
42
3
∫
⋅ dx
x
x
Решение . Умножим и разделим подынтегральную функцию на 4 и внесем
множитель 4x
3
под знак дифференциала :
∫∫∫
=⋅=⋅⋅=⋅
42
4
42
3
42
3
cos
4
1
cos
4
4
1
cos
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
.
4
1
4
1
cos
4
1
4
2
CtgxCtgt
t
dt
+⋅=+⋅=⋅=
∫
Пример 18. Найти неопределенный интеграл .
4
1
∫
⋅
+
+
dx
x
x
Решение . Произведем замену переменной
tx =+ 4
. Тогда
()()()()()
..2
,.1
∫
∫
∫
∫∫
±=⋅±
⋅=⋅
dxxdxxfdxxxf
dxxfdxxf
ϕϕ
αα
                            Неопределенный интеграл
                                  Таблица интегралов:

                       x n +1                       dx
      1. ∫x n ⋅ dx =           +C (n ≠−1),     2.   ∫x   =ln x +C ,
                      n +1
                       ax
      3. ∫a x ⋅ dx =          +C ,             4. ∫e x ⋅ dx =e x +C ,
                      ln a
      5. ∫sin x ⋅ dx =−cos x +C ,               6. ∫cos x ⋅ dx =sin x +C ,
             dx                                       dx
      7. ∫ 2 =tgx +C ,                          8. ∫ 2 =−ctgx +C ,
          cos x                                     sin x
               dx                   x                  dx       1       x
      9. ∫             =arcsin +C ,            10. ∫ 2        = ⋅ arctg +C ,
             a 2 −x 2              a                a +x    2
                                                                a       a
              dx          1        a +x                dx
     11. ∫ 2         = ⋅ ln             +C ,   12. ∫           =ln x + x 2 +a +C.
           a −x    2
                        2a         a −x               x +a
                                                        2



                       Свойства неопределенного интеграла:

               1.   ∫α ⋅ f (x )dx =α ⋅ ∫f (x )dx,
               2.   ∫( f (x ) ±ϕ (x ))⋅ dx =∫f (x )dx ±∫ϕ (x )dx.
                       Формула интегрирования по частям:

                                 ∫u ⋅ dv =u ⋅ v −∫v ⋅ du.
                                                            x3
  Пример 17. Найти неопределенный интеграл               ∫cos 2 x 4 ⋅dx.
  Решение. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 4 и внесем
множитель 4x3 под знак дифференциала:
     x3            1      4x3           1      dx 4
  ∫cos 2 x 4 ⋅ dx =4 ⋅ ∫cos 2 x 4 ⋅ dx =4 ⋅ ∫cos 2 x 4 =
    1   dt  1          1
   = ⋅ ∫ 2 = ⋅ tgt +C = ⋅ tgx 4 +C.
    4 cos t 4          4

                                                               x +1
  Пример 18. Найти неопределенный интеграл                   ∫  x +4
                                                                      ⋅ dx.

  Решение. Произведем замену переменной                     x +4 =t . Тогда




                                               23

Страницы