Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 25 стр.

                                       1 −2 x =t
                                 1 −t 2
                 0
                     x ⋅ dx   x=        , dx =−dt    1
                                                       1 −t 2      1 3 1 −t 2
   Решение.     ∫
                −4   1 −2 x
                            =      2              =−∫3 2t     ⋅dt =
                                                                   2∫    t
                                                                              ⋅ dt =
                              x =−4 ⇒ t = 9 =3                       1


                              x =0 ⇒ t = 1 =1
                        � 1 ��                   �
                                             3
 1 �     3
            dt 3                   3    t2       � =1 ln 3 −0 −9 +1 =ln 3 −2.
= ⋅ ��
 2 �     ∫1 t ∫1 ��� =2 ⋅ � ln t
              −  t ⋅ dt            1
                                       −
                                         2        � 2          4 4
                               �             1     �
                                                               π
                                                               4
   Пример 21. Вычислить определенный интеграл:                 ∫0 x ⋅ sin 3x ⋅ dx .
                π
                4
                                 u =x dv =sin 3xdx                  π
                                                     1
   Решение. ∫x ⋅ sin 3 x ⋅ dx =            1       =− (x ⋅ cos 3x ) 04 +
            0                   du =dx v =− cos 3x   3
                                           3
    π

 1  4
              π    3π     1       π
                                        2π 1 3π         2π   2
+ ∫cos 3xdx =− cos    +0 + sin 3x 04 =    + sin   −0 =     + .
 30           12    4     9            24 9     4      24   18

   Пример 22. Вычислить площадь земельного участка, ограниченного линиями:
   y =−3 x 2 −5 x +8, y =x −1, x =−2.
   Решение. Построим данные линии в декартовой системе координат:




                                                     Рис. 2.



                                                       25