Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
областей (1) и (4) является областью определения исходной функции. Причем
прямая x = y, за исключением точки ( 0; 0 ), входит в область определения, а пря-
мые x = 0, и y = 0 – нет (см . Рис. 3).
Рис. 3.
Пример 24. Найти градиент функции
3
4
4
sinln3 y
x
y
y
x
z +⋅+=
π
в точке
М ( 4; 2 ) и производную по направлению вектора
(
)
.6;8 −= l
Решение . Найдем частные производные
и
Вычислим значения частных производных в точке М :
.17,1
6
7
3
1
0
2
3
4
3
4
sin
2
3
.2,1
28
3
cos
28
3
3
3
−≈−=++−=
⋅
++−=
′
−≈−=⋅+=
′
π
π
π
π
M
y
M
x
z
z
.
3
4
4
sin
3
3
1
4
4
sin
13
3
2
3
3
2
3
2
y
x
y
y
x
y
x
x
y
z
y
⋅
++−=⋅⋅++
−⋅⋅=
′
−
ππ
,
4
cos
42
3
0
44
cos
2
113 xy
x
x
y
x
y
x
y
z
x
π
π
π
π
⋅+=+⋅⋅+⋅⋅=
′
областей (1) и (4) является областью определения исходной функции. Причем
прямая x = y, за исключением точки ( 0; 0 ), входит в область определения, а пря-
мые x = 0, и y = 0 – нет (см. Рис. 3).




                                          Рис. 3.
                                              x          πx
        Пример 24. Найти градиент функции z =3 ln
                                                + y ⋅ sin +3 4 y в точке
                                             y            4
М( 4; 2 ) и производную по направлению вектора l =( 8;−6 ).
  Решение. Найдем частные производные

  ′ 3y 1 1            πx π   3 πy    πx
zx = ⋅ ⋅     + y ⋅ cos ⋅ +0 = + ⋅ cos ,
     x y 2 x           4 4   2x 4     4

и
    ′3y       �   1 �     πx     1 −      3
                                            2
                                               πx   3
                                                      4
z y = ⋅ x ⋅ �� − 2 �� +sin +3 4 ⋅ ⋅ y 3 =− +sin +         .
      x         � y �      4     3        y     4 3 ⋅3 y2

Вычислим значения частных производных в точке М:

             ′        3 π         3 π
        zx           = + ⋅ cosπ = − ≈−1,2.
                 M    8 2         8 2
             ′         3         3
                                   4  3    1 7
        zy           =− +sin π + 3 =− +0 + =− ≈−1,17.
                 M     2        3⋅ 4  2    3 6

                                            27

Страницы