Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Земельный участок изображен заштрихованным . Найдем точку А пересечения
параболы с прямой y = x - 1. Для этого решим систему:
−=
+−−=
.1
,853
2
xy
xxy
Таким образом, .1,3
=
−
=
AB
xx
Искомую площадь найдем по формуле :
()()()
.
12
dxxfxfS
b
a
⋅−=
∫
()
()()
=⋅+−−=⋅−−+−−=
∫∫
−−
dxxxdxxxxS
1
2
2
1
2
2
9631853
()
()
()
.2718128931939
2
6
3
3
2
2
1
23
2
1
23
едxxxx
xx
=−−−+−−=+−−=
+−−=
−−
Примерный вариант контрольной работы № 6
1. Найти интеграл:
(
)
,2sin в) ,
1
1
б ) ,
1
arccos
а )
2
2
∫∫∫
−
+
−
xdxx
x
dxx
x
xdx
(
)
.sincos е ) ,
5
2
д) ,ln г)
23
4
1
e
1
∫∫∫
⋅
+
−
⋅⋅ xdxx
x
dxx
dxxx
2. С помощью определенного интеграла вычислить площадь земельного уча -
стка , ограниченного линиями:
+=
−+=
.1
,78
2
xy
xxy
Функции нескольких переменных
Пример 23. Найти область определения функции
(
)
.ln xyyxz +−=
Решение . Искомая область определения является множеством точек на плоско -
сти XOY, удовлетворяющих системе неравенств : .
0
0
>⋅
≥
−
yx
yx
Неравенства
0
≥
−
y
x
и
0
>
⋅
y
x
меняют свой знак на противоположный (соответственно )
при пересечении следующих линий: x = y и x = 0, y = 0. Эти линии разбивают
плоскость XOY на 6 областей. Последовательно подставляя произвольные точ-
ки , из каждой области в систему
>⋅
≥
−
0
0
yx
yx
, убеждаемся в том, что объединение
.1,3.032.0963.8531
21
222
=−=⇒=−+⇒=−+⇒+−−=− xxxxxxxxx
 Земельный участок изображен заштрихованным. Найдем точку А пересечения
               параболы с прямой y = x - 1. Для этого решим систему:
      � y =−3 x 2 −5 x +8,
       �
         � y =x −1.

  x −1 =−3x 2 −5 x +8. ⇒ 3x 2 +6 x −9 =0. ⇒ x 2 +2 x −3 =0. ⇒ x1 =−3,                               x2 =1.
  Таким образом, x B =−3, x A =1.
Искомую площадь найдем по формуле:
              b
         S =∫( f 2 (x ) − f1 (x ))⋅ dx.
              a
     1                                           1
S = ∫(−3 x −5 x +8 −(x −1))⋅ dx = ∫(−3x 2 −6 x +9 )⋅ dx =
                  2

     −2                                          −2



   � 3x 3 6 x 2         �      1                                1
=�� −    −      +9 x ��             =(−x −3x +9 x )
                                          3          2
                                                                     =−1 −3 +9 −(8 −12 −18) =27(ед 2 ).
    � 3    2              �    −2                               −2




                      Примерный вариант контрольной работы №6

   1. Найти интеграл:
   а) ∫
       arccos 2 xdx                           (x +1 )dx,
          1 −x 2
                    ,
                                 x −1
                                     б)   ∫        в) ∫x sin 2 xdx,
      e
   г) ∫x ⋅ ln x ⋅ dx,   д) ∫
                            4
                              (x −2 )dx,            е) ∫cos 3 x ⋅ sin 2 xdx.
      1                     1    x +5
   2. С помощью определенного интеграла вычислить площадь земельного уча-
                                      � y =x 2 +8 x −7,
      стка, ограниченного линиями: �
                                       �   y =x +1.

                              Функции нескольких переменных

   Пример 23. Найти область определения функции z = x −y +ln (xy ).
   Решение. Искомая область определения является множеством точек на плоско-
                                                     � x −y ≥0
сти XOY, удовлетворяющих системе неравенств: �                   . Неравенства
                                                      � x ⋅ y >0
x −y ≥0 и x ⋅ y >0 меняют свой знак на противоположный (соответственно)
при пересечении следующих линий: x = y и x = 0, y = 0. Эти линии разбивают
плоскость XOY на 6 областей. Последовательно подставляя произвольные точ-
                                  � x −y ≥0
ки, из каждой области в систему �             , убеждаемся в том, что объединение
                                   � x ⋅ y >0

                                                           26

Страницы