Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Таким образом, градиентом функции будет вектор:
()
.17,1;2,1; −−=
′′
=
M
x
M
x
zzzgrad
Производную по направлению вектора l найдем по формуле :
.
l
lzgrad
l
z ⋅
=
∂
∂
Пример 25. Вычислить
3
09,0
95,6+e приближенно , с помощью дифференциала .
Решение . Рассмотрим функцию yez
x
+= . Требуется вычислить значение z
1
этой функции в точке (x
1
; y
1
) = ( 0,09; 6,95 ). Вместо этого вычислим значение z
0
функции yez
x
+= в точке (x
0
; y
0
) = ( 0; 7 ), а затем воспользуемся следующей
приближенной формулой: dzzz
+
≈
01
. В этой формуле dz – дифференциал
функции z = z(x; y), вычисленный в точке (x
0
; y
0
).
Дифференциал dz вычисляется по формуле : dyzdxzdz
yx
⋅+⋅=
''
, где −
''
,
yx
zz
честные производные функции z = z(x; y),вычисленные в точке (x
0
; y
0
), а dx и dy
– дифференциалы (приращения) независимых переменных : dx = x
1
– x
0
, dy = y
1
–
y
0
.
В нашем случае: dx = 0,09 – 0 = 0,09; dy = 6,95 – 7 = – 0,05.
(
)
.287;
3
3
0
000
==+== eyxzz
()
()
()
.
12
1
43
1
3
1
;
0
7;0
3
2
00
'
=⋅
⋅
=⋅
+⋅
= ee
ye
yxz
x
x
x
()
()
()
.
12
1
43
1
1
3
1
;
7;0
3
2
00
'
=
⋅
=⋅
+⋅
=
ye
yxz
x
y
Следовательно ,
()
.003,004,0
12
1
05,0
12
1
09,0
12
1
≈⋅=−⋅+⋅= dz
Итак, .003,2003,0295,6
3
09,0
=+≈+ e
Пример 26. Найти все вторые частные производные функции
x
y
arctgz = и
убедится в том, что смешанные производные равны
(
)
""
yxxy
zz =
.
Решение . 1) Найдем частные производные первого порядка :
.
1
1
1
1
1
222
2
'
2
'
yx
y
x
y
x
y
x
y
x
y
z
x
x
+
−=
−⋅⋅
+
=
⋅
+
=
(
)
(
)
.258,0
10
58,2
3664
617,182,1
−=
−
=
+
−
⋅
−
+
⋅
−
=
∂
∂
l
z
Таким образом, градиентом функции будет вектор:
                  ′     ′
    grad z =�� z x ; z x �� =(−1,2; −1,17 ).
              �     M     M �

Производную по направлению вектора l найдем по формуле:
      ∂z grad z ⋅ l
         =          .
      ∂l    l

      ∂z −1,2 ⋅ 8 +(−1,17 )⋅ (−6 ) −2,58
         =                        =      =−0, 258.
      ∂l           64 +36           10
   Пример 25. Вычислить              3
                                          e 0, 09 +6,95 приближенно, с помощью дифференциала.
    Решение. Рассмотрим функцию z = e x + y . Требуется вычислить значение z1
этой функции в точке (x1; y1) = ( 0,09; 6,95 ). Вместо этого вычислим значение z0
функции z = e x + y в точке (x0; y0) = ( 0; 7 ), а затем воспользуемся следующей
приближенной формулой: z1 ≈z0 +dz . В этой формуле dz – дифференциал
функции z = z(x; y), вычисленный в точке (x0; y0).
    Дифференциал dz вычисляется по формуле: dz =z x' ⋅ dx +z 'y ⋅ dy , где z x' , z 'y −
честные производные функции z = z(x; y),вычисленные в точке (x 0; y0), а dx и dy
– дифференциалы (приращения) независимых переменных: dx = x1 – x0, dy = y1 –
y0.
В нашем случае: dx = 0,09 – 0 = 0,09; dy = 6,95 – 7 = – 0,05.
z 0 =z (x0 ; y0 ) =3 e 0 +7 =3 8 =2.

                         1                           1         1
z x' (x0 ; y0 ) =                  ⋅ex             =    ⋅ e0 = .
                 3 ⋅ 3 (e x + y )                   3⋅4       12
                                 2
                                         (0; 7 )

                       1                      1     1
z y' (x0 ; y0 ) =              ⋅ 1         =      =   .
                 3 ⋅ (e + y )               3 ⋅ 4  12
                    3  x     2
                                   (0; 7 )
                      1        1           1
  Следовательно, dz = ⋅ 0,09 + ⋅ (−0,05) = ⋅ 0,04 ≈0,003.
                     12       12          12
Итак, 3 e +6,95 ≈2 +0,003 =2,003.
         0 , 09


                                                                                      y
   Пример 26. Найти все вторые частные производные функции z =arctg                     и
                                                                                      x
убедится в том, что смешанные производные равны (z "xy =z "yx ).
   Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:
                       '
          1       � y�         1            �   1 �     y
zx =
 '
               ⋅ � =
              2 �
                                     ⋅ y ⋅ � − 2 � =− 2     .
        � y� � x� x          � y�
                                   2
                                              � x �  x +y 2
    1 +� �               1 +� �
         � x�                 � x�


                                                           28

Страницы